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Über das geistige Sein und das Denken

Geistig ist, was gedacht werden kann – dieser Satz, welcher wie sein Gegenstück „Wirklich ist, was wahrgenommen wird“ zugleich Definition und Theorem ist, steht am Anfang der Lehre vom geistigen Sein. Und wirft sogleich eine ganze Reihe an Fragen auf: Was ist Denken? Was bedeutet es, gedacht werden zu können, warum impliziert diese Eigenschaft allein schon ein Sein und welches Wesens ist dieses Sein? Welche Aussagen können wir über die Struktur und Ordnung des Geistigen treffen? In der Metaphysik sind diese Fragen nur kurz behandelt. Hier wollen wir eine weit ausführlichere Diskussion geben und eine allgemeine und umfassende Theorie des Denkens sowohl als der geistigen Entitäten entwickeln.

Zunächst ist das Denken, genauso wie die sinnliche Wahrnehmung und das Empfinden, eine in der Wirklichkeit vorgefundene Erscheinung; deren Sitz üblicherweise als Verstand bezeichnet wird, während das Empfinden im Gemüte angesiedelt ist und die Gesamtheit der sinnlichen Wahrnehmung die Außenwelt darstellt. Als solche besitzt das Denken ihm eigentümliche Charakteristika, welche es von Empfinden und sinnlicher Wahrnehmung unterscheiden; es konstituiert sich in Gedanken, die sich im Wirklichen vorfinden, das ist gedacht werden, und welche wir noch einer genaueren Charakterisierung zu unterwerfen haben werden; wohingegen das Empfinden in Gefühlen und die sinnliche Wahrnehmung in den mannigfaltigen Gegenständen der Außenwelt besteht.

Das Vorhandensein von Denken als einer Erscheinungsform des Wirklichen impliziert offensichtlich das Vorhandensein von Wirklichem überhaupt; welches der Inhalt des berühmten cogito ergo sum ist. Indes gilt die Umkehrung nicht: Wir finden zwar empirisch das Denken in der Wirklichkeit vor, doch besteht kein Grund, warum das notwendigerweise so sein sollte. Nicht nur ist eine Wirklichkeit, in der nur sinnliche Wahrnehmung und Empfinden bestehen, leicht vorstellbar; sondern schon die tatsächlich existierende kommt einem derartigen Zustand nicht selten zumindest nahe, in welchem das Denken fast gänzlich unterdrückt ist.

Derartige Betrachtungen mögen den Eindruck erwecken, dass es sich beim Denken um eine beliebige Erscheinung unter mehreren handelt, die in der Wirklichkeit auftreten können, welche wie jede solche Erscheinung ihre Eigenheiten besitzt, sich sonst aber von den übrigen nicht besonders abhebt. So verhält es sich aber keineswegs. Was das Denken ganz grundsätzlich und fundamental vor allen anderen Erscheinungen auszeichnet, ist dass es die unabdingbare Voraussetzung jedweder Erkenntnis ist. Das Erkennen von wahren Aussagen über die Welt, im weitestmöglichen Sinne schlechthin verstanden, ist überhaupt nur vermittelst und in der Form des Denkens möglich. In einer Wirklichkeit, in welcher das Denken nicht besteht, kann es keine Erkenntnis und kein Wissen, das ist ein unmittelbares Bewusstsein von Eigenschaften der Welt geben. Die in einer solchen Wirklichkeit etwa vorhandene sinnliche Wahrnehmung korrespondiert deshalb zu keinem Wissen; die Gegenstände der sinnlichen Wahrnehmung sind dann einfach an und für sich da, ohne ein bewusstes Erkennen ihrer Existenz; erst der Verstand vermag aus der sinnlichen Wahrnehmung das bewusste Wissen um die Existenz des Wahrgenommenen zu ziehen. Der Charakter und die Bedeutung des Denkens sind derart fundamental, dass Objekte oder Sachverhalte, die undenkbar sind, das ist die der Verstand sich außer Stande sieht zu denken, absolut, in der weitgehendsten uns fasslichen Weise inexistent beziehungsweise unmöglich sind; sodass „undenkbar“ allgemein zu „unmöglich“ synonym gebraucht wird. Ebenso besitzt eine Gesetzmäßigkeit, welche vom Verstande durch reines Denken erkannt wird, die größtmögliche Universalität überhaupt.

Diese herausragende Rolle des Denkens hat bemerkenswerte Konsequenzen; bevor wir uns jedoch diesen zuwenden, wollen wir eine ausführliche Charakterisierung des Denkens als empirisches, in der Wirklichkeit vorgefundenes Phänomen geben. Dabei wird unsere Darstellung gewiss nicht umfassend sein, das ist wir sehen davon ab, eine ohnehin kaum erreichbare vollständige Beschreibung dieses Phänomens in jeder Einzelheit anzustreben; stattdessen wird die Notwendigkeit der philosophischen Untersuchung die Schwerpunkte vorgeben und uns die hierfür relevanten Aspekte des Denkens herausgreifen lassen.

Sowohl die rein semantische Tatsache, dass das Wort „denken“ meist zur Bezeichnung einer zeitlich ausgedehnten Tätigkeit verwendet wird, als auch die intuitive Empfindung eines Gedankenstroms, welcher das Denken scheinbar konstituiert, legen nahe, dass es sich beim Denken zuvörderst um einen Vorgang handelte. Dies stünde jedoch im Widerspruch zu der Tatsache, dass die Wirklichkeit nur als Gegenwart existieren kann. Und tatsächlich bedarf das Denken bei näherer Betrachtung auch keiner Ausdehnung über mehrere Wirklichkeitseinheiten, das ist Augenblicke, sondern ist in jedem einzelnen, in dem es denn vorhanden ist, vollumfänglich vorhanden. In jeder Wirklichkeitseinheit bestehen ein oder mehrere Gedanken, die wie alles Wirkliche von Wirklichkeitseinheit zu Wirklichkeitseinheit der Änderung unterworfen sind, jedoch in jeder einzelnen das Denken konstituieren. Wenn es sich dennoch unserer Intuition nach ganz anders verhält, wir nämlich oftmals den Eindruck haben, dass ein Gedanke nach und nach, in Form eines Satzes, durch den Verstand zieht: So ist es in Wahrheit aber so, dass der Gedanke sich allmählich im Verstande aufbaut und erst am Ende eigentlich gedacht wird; zuvor aber besteht er nur unvollständig, das heißt ein Denken ist gar nicht vorhanden, oder es ist zumindest nur unvoll­stän­dig vor­h­a­nden.

Werfen wir nun einen Blick darauf, wie sich Gedanken an sich charakterisieren lassen. Grundsätzlich gibt es zwei prinzipiell verschiedene Arten von Gedanken: Solche, die Objekte, und solche, die Aussagen zum Gegenstande haben. Objekte, die Gegenstand eines Gedankens sein können, sind etwa: eine Zahl oder geometrische Figur; ein Wort oder ein Satz der Sprache; ein physischer Gegenstand; eine Melodie; eine Farbe; ein Vorgang oder Ereignis; eine Person; ein abstraktes Konzept; eine Erzählung oder Abhandlung; oder ein Gefühl. Ja schlichtweg alles, wovon der Verstand sich einen genauen Begriff zu machen vermag, kann Objekt des Denkens sein.

Im Gegensatz dazu bestehen Aussagen, die Gegenstand des Denkens sind, in Sätzen über die Objekte und ihre Verhältnisse, welche der Verstand in eine bestimmte Beziehung zur Wahrheit setzt. Dies kann in affirmativer Weise geschehen, das ist indem er einen Satz denkt, denkt der Verstand ihn zugleich als wahr; in negativer Weise, das ist er denkt ihn zugleich als unwahr; oder aber in dubitativer Weise, das ist er denkt ihn weder als wahr noch unwahr und stellt sich stattdessen die Frage, welches von beiden zutreffe. Ein Satz kann dabei durchaus auch als Objekt gedacht werden: Wenn er an und für sich gedacht wird, ohne dass der Verstand ihn in einem bestimmten Verhältnis zur Wahrheit denkt, welches allein ihn zur Aussage macht.

Die Sätze, in denen Aussagen bestehen, können von zweierlei Art sein (in gewisser Hinsicht gibt es auch noch eine dritte Art, auf die wir unten kommen): Sie können sich allein auf den Objekten intrinsische Eigenschaften und Verhältnisse beziehen; oder aber das Wirklichsein oder Nichtwirklichsein von Objekten beinhalten, wobei aber nicht ausgeschlossen ist, dass der Satz zusätzlich einen rein auf die Eigenschaften von Objekten sich beziehenden Bestandteil enthalte. Beispielsweise fällt der Satz „Die Summe aus zwei und drei ist fünf“ in die erste Kategorie, da er ein den Objekten zwei, drei und fünf intrinsisches Verhältnis beschreibt. Hingegen ist der Satz „Es regnet“ von der zweiten Kategorie; denn er bezieht sich auf eine Tatsache der Wirklichkeit: dass der Regen wirklich ist. Dabei müssen die ersteren nicht notwendigerweise abstrakte und die letzteren nicht notwendigerweise konkrete Objekte zum Gegenstand haben. Der Satz „Wenn es regnet, wird die Erde nass“ setzt allein Objekte in Beziehung, nämlich den Vorgang des Regnens, die Erde und den Zustand der Nässe, ohne dass das Wirklichsein dieser Objekte eine Rolle spielte. „Ich denke gerade die Zahl fünf“ ist ein Beispiel für der umgekehrten Fall: Er sagt aus, dass die Fünf wirklich ist.

Die Art der Wahrheit, in Beziehung zu welcher der Verstand einen Satz denkt, ist im Falle der ersten Klasse von Sätzen eine absolute Wahrheit: Denkt er sie als wahr, dann als absolut wahr, das ist schreibt ihnen die größte ihm vorstellbare Allgemeingültigkeit zu. Im zweiten Falle hingegen ist es eine relative, auf die konkrete Gegenwart bezogene Wahrheit: Wenn der Verstand „Es regnet“ als wahr denkt, dann denkt er diesen Satz keinesfalls als allgemeingültig, sondern nur in Bezug auf die tatsächlich vorhandene Wirklichkeit wahr. Es gibt zwei Ausnahmen: Einerseits Sätze der Art „Es regnet oder die Summe aus zwei und drei ist fünf“, welche auf die Wirklichkeit bezogene und rein Objekte betreffende Bestandteile besitzen und für deren Wahrsein die Wahrheit der ersteren irrelevant ist; und andererseits Tautologien der Art „Entweder es regnet oder es regnet nicht“. Dabei können letztere aber auch als einer dritten Art von Sätzen zugehörig betrachtet werden: Denn „Es regnet oder es regnet nicht“ ist ein Spezialfall des Grundsatzes von der Eindeutigkeit der Wirklichkeit, dass etwas entweder wirklich ist oder nicht, welcher ein metaphysischer Satz ist. Unter diese dritte Kategorie der metaphysischen Sätze fallen viele philosophische Aussagen wie etwa „Geistig ist, was gedacht werden kann“, „Zwischen zwei Wirklichkeitseinheiten besteht stets eine Vor-Nach-Beziehung, welche transitiv ist“ oder aber auch die vorliegende Schrift selbst. Wir haben uns mit der Problematik solcher metaphysischen Aussagen, die gänzlich über die gewöhnlichen, auf die Objekte an sich oder die Wirklichkeit bezogenen Aussagen hinausgehen und außerhalb von diesen stehen, und deren Betrachtung leicht zu Selbstbezüglichkeit und infinitem Regress führen kann, bereits in der Schrift Über das Verhältnis von metaphysischer und immanenter Weltsicht befasst, und es soll uns damit nicht erneut zu tun sein. Ebenso wenig jedoch werden die Sätze der zweiten Art, die sich auf die Wirklichkeit beziehen, in dieser Schrift von Belang sein: Allein jene der ersten Art, die ausschließlich die Eigenschaften und Beziehungen der Objekte an sich zum Gegenstand haben, werden wir in den weiteren Überlegungen betrachten; denn diese sind es, die für das geistige Sein relevant sind.

Nebenbei sei hier bemerkt, dass wir mithilfe der obigen Einsichten den alten Streit zwischen den konkurrierenden Schulen des Rationalismus und des Empirismus über die Frage, ob unsere Erkenntnis zuvörderst dem Denken oder der empirischen Anschauung entspringe, in der Weise auflösen können, dass das Denken für alles Erkennen von wahren Aussagen notwendig ist, da es dessen Form selbst darstellt; das empirische Anschauen aber zusätzlich notwendig ist für jede Erkenntnis, die nicht nur die Verhältnisse der Objekte an sich betrifft, sondern auch die Frage, welche Objekte wirklich seien.

Wenden wir uns nun einem alten und schwierigen Problem zu, nämlich der Beziehung zwischen Denken und Sprache; darunter fallen die Fragestellungen, ob ein Denken ohne Sprache möglich sei und ob die Beschaffenheit der Sprache des Denkenden Einfluss auf die Art seines Denkens besitze. Was die Beantwortung von ersterer so schwer macht, ist dass das einzige Denken, welches wir kennen, unser eigenes, sich zwar der Sprache bedient und sich darin ausformt, wir daraus aber nicht schließen dürfen, dass dies notwendigerweise auf jedes Denken zutrifft, welches in der Wirklichkeit auftreten könnte.

Denn um einer Instanz in der Wirklichkeit die Fähigkeit zu denken zusprechen zu können, genügt es, dass sie in der Lage ist, sowohl von Objekten als auch Aussagen sich einen genauen Begriff zu machen. Aufgrund der Beschränktheit unserer empirischen Erfahrung aber fällt uns das Vorstellen eines Denkens, welches eine zu dem uns wohlbekannten Denken gänzlich heterogene Gestalt annimmt, schwer. Ein solches exotisches Denken könnte sich in einer uns ganz unbegreiflichen Art ausformen und zu der nötigen Schärfe des Begriffes auf gänzlich anderem Wege gelangen als vermittelst der Sprache, wie wir sie kennen. Fasst man allerdings den Ausdruck „Sprache“ weiter als gewöhnlich und versteht darunter ganz allgemein ein Hilfsmittel zur Erzielung dieser begrifflichen Schärfe: So ist es gut vorstellbar, wiewohl es spekulativ bleibt, dass sich alles prinzipiell mögliche Denken einer Sprache bedient.

Betrachten wir aber dennoch etwas genauer – der eingeschränkten Allgemeinheit einer solchen Betrachtung zum Trotz – die Beziehung von Denken und Sprache in der konkret vorhandenen Wirklichkeit. Wir finden darin zwei Arten von Sprache vor: einerseits die natürlichen Sprachen, etwa diejenige, in welcher diese Schrift selbst verfasst ist, welche durch keine bewusste Gestaltung entstanden sind, sowie an diese angelehnte Sprachen wie Zeichen- und Bildsprachen; und andererseits die formalen logischen Sprachen, die zu dem Ziele entwickelt wurden, eine noch größere Schärfe des Begriffes zu ermöglichen, als es die natürlichen Sprachen schon tun. Der eigentliche Kern dieser formalen Sprachen vermag indes viel weniger des Denkbaren abzubilden als die natürlichen Sprachen: Denn ihr Instrumentarium dient mehr dazu, die Beziehungen und Eigenschaften von Objekten in abstracto wiederzugeben, als die vielfältigen Objekte, welche der Verstand denken kann, an sich abzubilden. Kombiniert man indes natürliche und formale Sprache: So vermag der Verstand mithilfe eines solchen Werkzeugs eine derartige Präzision bei gleichzeitiger Weitheit seines Denkfeldes zu erzielen, dass er in manchen Aspekten einem idealen Denken, welchen Begriff wir unten genauer behandeln werden, bereits nahekommt.

Trotz der großen Wichtigkeit, welche die Sprache für das empirisch vorgefundene Denken besitzt, ist sie diesem dabei stets nur ein Hilfsmittel. Die Grenzen meiner Sprache bedeuten die Grenzen meiner Welt: Das ist in dieser Apodiktik sicher falsch. Wie hätte dann überhaupt die philosophische oder wissenschaftliche Art der Weltbetrachtung entstehen können, lässt sich fragen; enthielt doch die Sprache, als diese aufkamen, nur Begriffe für Dinge aus der einfachen damaligen Lebenswelt. Allein schon die Phänomene des Neologismus und des Neosemantismus beweisen das Primat des Denkens über die Sprache: Von Fällen abgesehen, in denen ein Neologismus nur stilistischen Zwecken dient, kann er nur entstehen, wenn der Verstand ein Objekt oder Verhältnis denkt, welches keine Entsprechung in der Sprache besitzt; empfindet er eine solche als nötig, um in seinem Denken zu größerer Klarheit zu gelangen (oder auch zum Zwecke der Mitteilung), schafft er einen neuen Begriff und erweitert die Sprache. Tatsächlich ist es gar nicht selten, dass der Verstand der Sprache vorauseilt und Verhältnisse denkt, die sich nur mit viel Mühe durch die Sprache wiedergeben lassen; wiewohl diesem Denken eine gewisse Unschärfe anhaftet, bis der treffende neue Begriff geschaffen ist.

Allerdings ist das Primat des Denkens über die Sprache nur im Prinzip gültig. Obgleich der empirisch vorgefundene Verstand grundsätzlich nicht durch die Sprache darin eingeschränkt ist, was er denken könnte, beeinflusst ihn diese in der Praxis häufig darin, was er tatsächlich denkt; welches ein Aspekt seiner Imperfektion ist, welcher wir uns unten zuwenden werden. Denn da die Sprache ihm zwar ein Hilfsmittel, indes ein nahezu unentbehrliches Hilfsmittel ist, ist das Denken über die Sprache hinaus oft mit Anstrengung und Mühe verbunden, welche der Verstand, ob einer gewissen ihm innewohnenden Trägheit, oftmals scheut. Man stelle sich etwa eine Sprache vor, welche keine Zahlwörter oder keine Möglichkeiten zum Ausdruck der Irrealität besitzt: Einem Verstande, der nur über eine solche Sprache verfügte, fiele es ungemein schwer, Zahlen oder das Verhältnis der Irrealität zu denken, und wenn es doch gelänge, würden sie wohl kaum mit Schärfe gedacht. Dass indes das Erlernen zusätzlicher Sprachen die Fähigkeiten des Verstandes erweitere, kann nur bedingt behauptet werden: Dafür sind sich die entwickelten Kultursprachen untereinander zu ähnlich. Selbst wenn also etwa das Deutsche mit dem Wort „Schadenfreude“ oder der Unterscheidung von „scheinbar“ und „anscheinend“ Ausdrucksmöglichkeiten besitzt, die in vielen anderen Sprachen nicht vorhanden sind (wie diese ebenso solche besitzen, die dem Deutschen fehlen), so hat das nur geringen Einfluss auf das Denken, kann man diese Konzepte doch in wenigen Worten umschreiben. Wenn also die zuvor genannten Beispiele von Ausdrucksmangel einer steilen Felswand vergleichbar sind, die das Denken zwar prinzipiell überwinden kann, jedoch nur mit großer Mühe, so lassen sich die Unterschiede im Ausdrucksvermögen zwischen den entwickelten Kultursprachen eher einer leichten Hangneigung vergleichen, die das Denken ganz sanft in eine Richtung lenkt. Nebenbei sei bemerkt, dass in unserem Zusammenhang vielleicht sogar noch das beste Beispiel das Wort „geistig“ selbst ist, welches in vielen europäischen Sprachen mit Wörtern wiedergegeben wird, die entweder „spirituell“ oder „mental“ bedeuten; welche es beide keineswegs treffen, da „spirituell“ den Eindruck einer eigenständigen Wesenheit erweckt, „mental“ hingegen eine Existenz allein im und durch den Verstand nahelegt, wodurch die verwickelte und höchst subtile Beziehung zwischen Denken und geistigem Sein, die noch in aller Ausführlichkeit zu behandeln sein wird, verloren ginge. Soviel zum Verhältnis von Sprache und Denken.

Wir haben oben herausgestellt, dass das Denken in jedem Augenblick, in dem es denn existiert, vollumfänglich existiert und grundsätzlich keiner Ausdehnung über mehrere Wirklichkeitseinheiten bedarf. Was wir aber durchaus vorfinden, ist das zeitliche Aufeinanderfolgen verschiedenen Denkens, welches jeweils in einer eigenen Wirklichkeitseinheit realisiert ist. So könnte etwa in Wirklichkeitseinheit A die Aussage X gedacht werden, in Wirklichkeitseinheit B das Objekt Y und in C sowohl X als auch Y. Dabei setzen wir hier eine geordnete Zeitlichkeit voraus, was für fast alle philosophischen Überlegungen unabdingbar ist; und sogar diejenigen, die sie nicht voraussetzen, könnten als philosophische Überlegungen selbst nicht ohne diese Zeitlichkeit bestehen. Wir nehmen damit eine erste, sehr elementare Idealisierung vor: Wir stellen uns das Denken, wie wir es in der gegenwärtigen Wirklichkeit vorfinden, als zeitlich hinreichend ausgedehnt, in einer stets gleichbleibenden Form, vor. Ein wesentliches Charakteristikum dieses Denkens ist, dass es begleitet ist von Erinnerungen des Verstandes an vorheriges Denken, das ist zuvor gedachte Aussagen und Objekte. Dies erlaubt es, Regeln ausfindig zu machen, nach denen sich die Abfolge von gedachten Objekten und Aussagen vollzieht. Zwar erscheinen diese häufig spontan im Verstande, das ist ohne erkennbaren Zusammenhang mit zuvor gedachten Objekten und Aussagen, was dann oft, aber nicht notwendigerweise, auf einen Reiz aus der Außenwelt zurückgeht; doch ist das nicht immer so, indem sie ebenso häufig zu diesen in einer ganz bestimmten Beziehung stehen, welche der Verstand deshalb herstellen kann, weil diese in seiner Erinnerung vorhanden sind. Die Beziehung zwischen Objekten, die nacheinander gedacht werden, ist die Assoziation: Assoziiert sind zwei Objekte, wenn sie in einer hinreichend signifikanten Teilmenge ihrer Eigenschaften übereinstimmen oder wenn es eine Kette von dritten Objekten gibt, die vom einen zum anderen Objekt reicht und in der die Glieder jeweils zueinander in dem besagten Verhältnis stehen.

Auch die Abfolge von Aussagen kann vermittelst der Assoziation geschehen, indem die Objekte, die in den Aussagen vorkommen, oder die Sätze, in welchen sie bestehen, assoziiert sind. Jedoch es besteht noch eine zweite Art der regelhaften Abfolge von Aussagen im Verstande, das logische Schließen. Wenn etwa im Verstande zunächst die Aussagen auftreten, dass wenn eine Zahl auf die Ziffer Fünf endet, diese ungerade ist, sowie dass die Zahl Fünfzehn auf die Ziffer Fünf endet; daraufhin aber die Aussage, dass die Zahl Fünfzehn ungerade ist: So ist diese Abfolge von Aussagen gemäß einer bestimmten Regel vor sich gegangen, in diesem Falle dem Modus ponens. Dementsprechend scheint ein gewisses, dem Verstande intrinsisches Instrumentarium von Regeln dem Denken seinen Stempel aufzudrücken und die Abfolge von Aussagen darin zumindest zum Teil zu bestimmen: Dieses Instrumentarium ist die Logik. Diese Logik als Form des Denkens schlechthin müssen wir prinzipiell unterscheiden von den verschiedenen logischen Systemen, wie etwa der klassischen oder der Prädikantenlogik, welche Gegenstand des Denkens sein können, und nicht notwendigerweise seine Form an sich bestimmen. Das wirft aber die entscheidende Frage auf, welchem der logischen Systeme denn dann die Vorzugsstellung zukomme, die dem Verstande intrinsische Logik am besten zu beschreiben; an dieser Stelle soll uns diese jedoch noch nicht bekümmern, da ihre Behandlung späterhin noch einen großen Teil dieser Schrift einnehmen wird. Steht jedenfalls im Gegensatz dazu eine vom Verstande gedachte Aussage in keinem logischen Verhältnis zu einer zuvor gedachten und in der Erinnerung aufbewahrten Aussage, so sagen wir, diese entspringe der Anschauung. Ein Objekt hingegen, welches ohne Assoziation im Verstande auftaucht, bezeichnen wir als der Imagination entsprungen.

Neben der Regelhaftigkeit, mit welcher Aussagen im Verstande gemäß der Logik aufeinanderfolgen, springt noch eine weitere Erscheinung unmittelbar ins Auge, wenn man das Sichabwechseln der vom Denken hervorgebrachten Aussagen betrachtet. Und zwar kommt es vor, dass zwei in verschiedenen Augenblicken gedachte Aussagen zueinander gegenteilig sind; das ist beide sind affirmativ und die Sätze, die sie konstituieren, sind jeweils die Negation des anderen, oder der gleiche Satz wird einmal in affirmativer und einmal in negativer Weise gedacht. Dieses Phänomen ist der Irrtum. Dieser drängt sich der Betrachtung deshalb unmittelbar auf, weil wir oben das Denken zur alleinigen Quelle der Erkenntnis erklärt haben, in dessen Form diese überhaupt nur möglich ist. Wenn dem aber so ist, welche der beiden Aussagen, die als erste oder die als zweite gedachte, repräsentiert dann die Wahrheit? Diese Frage ist noch nicht einmal der kritischste Aspekt der Problematik, welche der Irrtum aufwirft; denn in den meisten Fällen ist das Auftreten der zweiten Aussage im Verstande begleitet von einem Bewusstsein, warum die erste Aussage eben doch nicht wahr war; weshalb es leichtfällt, die zweite Aussage zu derjenigen zu erklären, die die Wahrheit darstellt. Was hingegen noch weit beunruhigender am Phänomen des Irrtums ist, ist folgende Überlegung: Wir finden empirisch, dass der Verstand bisweilen irrt; wie können wir uns da jemals gewiss sein, dass eine von uns gedachte Aussage auch tatsächlich die Wahrheit abbildet und nicht von einer später im Verstande auftretenden Aussage umgestürzt wird?

Aus diesem Grunde handelt es sich beim Irrtum um die gewichtigste der Inidealitäten des empirisch vorgefundenen, in der tatsächlichen Wirklichkeit realisierten Verstandes. Zu diesen zählen noch weitere Unvollkommenheiten in unserem Denken: Objekte und Aussagen vermögen wir niemals in perfekter Schärfe zu denken, sondern ihrer Erscheinung im Verstande haftet immer eine gewisse Ungenauigkeit an; unser Verstand ist nicht in der Lage, aller zuvor gedachten Aussagen sich zu erinnern und diese in sein gegenwärtiges Denken einzubeziehen, noch eine beliebig große Anzahl an Aussagen und Objekten gleichzeitig zu denken; er kann nicht absolut beliebige Objekte denken, das ist es gibt Objekte, die ihm undenkbar sind, obwohl sie nicht in sich widersprüchlich sind, weil sie entweder außerhalb seines Begriffskreises und Vorstellungsvermögens liegen oder aber zu komplex und eigenschaftsreich sind, als dass sie ihm fasslich wären; er existiert nur für eine endliche Zeitspanne und sein Denken ist zeitlich grundsätzlich begrenzt; schließlich befolgt er die Regeln des logischen Schließens, obgleich sie ihm intrinsisch sind, ja einen essenziellen Bestandteil seines Wesens darstellen, nicht immer in vollkommener Weise, sondern begeht darin bisweilen Fehler. Letzteres ist dabei nicht gänzlich gleichbedeutend mit seiner Anfälligkeit für den Irrtum, da die bloße logische Fehlerfreiheit noch keine Irrtumsfreiheit impliziert und Irrtümer auch ohne logische Fehler möglich sind; wiewohl die Umkehrung durchaus gilt, da eine regelmäßig fehlerhafte Anwendung der Logik zwangsläufig zu Irrtümern führt.

Indem wir diese Eigenschaften des empirisch gegebenen Verstandes zu Inidealitäten erklärt haben, fällt es uns nicht mehr allzu schwer, darzulegen, was wir unter einem idealen Verstande verstehen. Bei einem solchen handelt es sich, das ist vorwegzunehmen, um eine durch und durch hypothetische und theoretische Konstruktion, die niemals in der Wirklichkeit existieren kann. Dennoch wird sich zeigen, dass aus den Eigenschaften und Strukturen des idealen Verstandes heraus sich die Eigenschaften und Strukturen des geistig Seienden bestimmen, welches zwar nicht wirklich ist, aber dennoch eine eigentliche, eben geistige Existenz besitzt; ja vermittelst des besonderen Verhältnisses, dass jedes wirkliche Objekt eine geistige Entsprechung besitzen muss, bestimmt sich daraus sogar die Menge des potentiell Wirklichen, aus welcher das tatsächlich Wirkliche geschöpft ist.

Ein idealer Verstand ist gänzlich ohne Beschränkung seines Begriffskreises und seines Fassungsvermögens und damit in der Lage, beliebige nicht in sich widersprüchliche Objekte zu denken; und zwar ist die Vorstellung, die er sich von diesen macht, kristallklar und von größtmöglicher Schärfe. Er behält grundsätzlich sämtliche jemals zuvor gedachten Aussagen und Objekte im Gedächtnis und kann deren beliebig viele gleichzeitig und beliebig große denken; und er existiert für eine unbegrenzte Zeit. Er ist damit potentiell, wiewohl nicht aktual unendlich. Schließlich ist er frei von jedem Irrtum, das ist sein Denken ist stets konsistent, woraus insbesondere folgt, dass er die Gesetze der Logik, die ihm eigen sind, mit perfekter Regelhaftigkeit befolgt.

Diese Eigenschaften sind dabei allesamt Extrapolationen, die von den uns wohlbekannten Eigenschaften unseres eigenen, durch und durch inidealen Verstandes ihren Ausgang nehmen. Am kritischsten ist diese Extrapolation im Falle der erstgenannten Eigenschaft eines idealen Verstandes: Die Definition, dass ein idealer Verstand ohne Beschränkung seines Begriffskreises ist und – sein unbegrenztes Fassungsvermögen, welches eine weit weniger kritische Eigenschaft darstellt, zusätzlich vorausgesetzt – beliebige Objekte zu denken vermag, erscheint problematisch, da wir schwerlich angeben können, was denn beliebige Objekte im weitestmöglichen Sinne seien; ja vor dem Hintergrund, dass wir die geistig seienden Objekte als diejenigen definieren werden, die von einem idealen Verstande gedacht werden können, wirkt die Definition sogar zirkulär. Diese Zirkularität ist allerdings nur scheinbar: Denn der hier verwendete Ausdruck, dass der ideale Verstand beliebige Objekte denken kann, rekurriert noch nicht auf die später eingeführte Menge aller geistig seienden Objekte; stattdessen ist er an dieser Stelle als eine Ausdehnung des uns aus unserem eigenen Denken unmittelbar gegebenen Begriffs der Vielfältigkeit der gedachten Objekte über jede Grenze dieser Vielfältigkeit hinaus zu verstehen. Denn wir machen die Erfahrung, dass die Objekte, die wir denken, sich von großer Vielfalt zeigen sowohl in der Ausprägung als auch dem fundamentalen Wesen ihrer Eigenschaften; mehr noch, aus der Erfahrung ist uns unmittelbar das Phänomen bekannt, dass sich unser Begriffskreis erweitert, das ist dass wir mit einem Male Objekte zu denken beginnen, von welchen wir uns zuvor nicht einmal hätten vorstellen können, sie zu denken, weil sie sich wesenhaft von allen zuvor gedachten Objekten unterscheiden und sie sich, anders als im gewöhnlichen Falle, wenn neue Objekte gedacht werden, kaum unter bekannte Klassen von Objekten subsumieren lassen, oder aber diese von allerallgemeinster Natur sein müssen, um die neuen Objekte überhaupt noch aufnehmen zu können. Bei der Konstruktion der in Rede stehenden Eigenschaft eines idealen Verstandes können wir nun so vorgehen, dass wir von der durch unser eigenes Erleben und Erfahren gegebenen und damit noch wohlgegründeten Eigenschaftsvielfalt der von uns gedachten Objekte ausgehen; diese dann aber unter Bezugnahme auf die ebenfalls noch durch unser eigenes Erfahren wohlgegründete Erscheinung der Begriffskreiserweiterung über jede Erfahrung hinaus extrapolieren, indem wir einen Verstand, der beliebige Objekte zu denken vermag, definieren als einen, der nicht nur durch ein unbegrenztes Fassungsvermögen keinen Einschränkungen bezüglich der Komplexität der von ihm gedachten Objekte unterliegt, sondern insbesondere auch jegliche Begrenzungen seines Begriffskreises überschritten hat und keiner solchen Überschreitung mehr fähig ist, und bei dem die Vielfalt der Objekte, die er denken kann, somit unendlich groß ist.

Da wir uns aber selbstredend von einem Denken, das über jedes gewöhnliche, von den Grenzen eines Begriffskreises eingehegte Denken hinausgeht, keinen Begriff machen können, sind uns dieses Charakteristikum des idealen Verstandes und seine Auswirkungen am unfasslichsten; es verhält sich damit anders als mit den anderen Eigenschaften, etwa der Fähigkeit, sämtliche gedachten Aussagen und Objekte im Gedächtnis zu behalten, die zwar auch Extrapolationen vom mängelbehafteten realen Verstande aus darstellen, von welchen sich jedoch einen Begriff zu machen uns nicht allzu schwer fällt. Das Verhältnis bereitet uns große Schwierigkeiten, doch gehen diese wohl nicht so weit, dass sie unsere Konstruktion des idealen Verstandes unzulässig machen würden und uns den Rückgriff auf diese imaginäre Entität benähmen.

Bemerkt sei hier auch, dass selbst die Fähigkeit, beliebige Objekte zu denken, nur eine potentielle und keine aktuale Unendlichkeit des idealen Verstandes impliziert, ebenso wie etwa seine Fähigkeit, beliebig lange zu existieren und jede gedachte Aussage im Gedächtnis zu behalten; denn wir setzen nur an, dass er beliebige Objekte denken kann und nicht etwa denkt. Eine aktuale Unendlichkeit ist dem Phänomen des Denkens grundsätzlich derart fremd, dass wir sie ihm selbst in seiner idealen Ausprägung nicht zuschreiben können. Tatsächlich wird dieses wichtige Charakteristikum späterhin nicht unbedeutende Konsequenzen bei der Betrachtung des geistig Seienden entfalten.

Kehren wir nun, nachdem wir die hypothetische Idealform des Denkens konstruiert haben, die aber doch nie und nirgends tatsächlich existieren kann, zur Betrachtung seiner zwar mängelbehafteten und unvollkommenen, dafür aber in der Wirklichkeit als empirische Erscheinung vorgefundenen Ausformung zurück, welche das Denken unseres eigenen Verstandes ist; und versuchen nun endlich, den Herausforderungen zu begegnen, welche die beschriebenen Imperfektionen dieses Denkens, allen voran der Irrtum, für die Aussage vom Beginn dieser Schrift darstellen, dass das Denken die unabdingbare Voraussetzung jedweder Erkenntnis ist. Die darin vordergründig zum Ausdruck kommende bloße Notwendigkeit des Denkens für die Erkenntnis ist dabei gar nicht allzu problematisch; denn eine Erkenntnis, das ist das Bewusstwerden von wahren Aussagen, ist anders als in der Form des Denkens gar nicht vorstellbar. Was aber unausgesprochen einbegriffen und eigentlich impliziert ist, wenn wir das Denken zur unabdingbaren Voraussetzung der Erkenntnis von Wahrheit erklären, ist dass es dafür nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend ist, das ist dass wir vermittelst des Denkens zu im letztgültigen Sinne wahren Ansichten über die Dinge gelangen können; denn dass wir überhaupt dazu in der Lage sind, zu solchen Ansichten zu gelangen, ist dem Philosophieren selbst meist schon vorausgesetzt. Eben diese implizierte Fähigkeit des Denkens ist es, die sich in unserem Zusammenhang als so ungemein problematisch darstellt, da sie durch das Phänomen des Irrtums, und in geringerem Maße auch durch die anderen Inidealitäten des in der Wirklichkeit vorhandenen Denkens, grundlegend in Frage gestellt wird, wie sich aus dem oben Dargelegten ergibt. Dabei hatten wir den Irrtum in einer rein denkimmanenten Weise, als das Aufeinanderfolgen einander widersprechender Aussagen im Verstande definiert, weshalb zwar das Vorhandensein von Irrtum die Fähigkeit, zu wahren Aussagen zu gelangen, in Frage stellt, umgekehrt aber seine Abwesenheit nicht notwendigerweise diese Fähigkeit impliziert. Mit Fug und Recht kann man den Irrtum als den Stachel im Fleische desjenigen bezeichnen, der daran glaubt, dass uns die Wahrheit über die Dinge prinzipiell zugänglich ist. Wir können noch nicht einmal auf das übliche Argument zurückgreifen, dass sich die Unmöglichkeit von Erkenntnis nicht selbstkonsistent denken lässt, denn dieses garantiert nur das Vorhandensein von metaphysischer Erkenntnis im Allgemeinen, nicht jedoch von Erkenntnis über die Objekte an sich; so könnte diese metaphysische Erkenntnis gar darin bestehen, dass wir über die Beziehungen der Objekte nichts wissen können.

Mehrere Argumente tragen dazu bei, die fundamentale Herausforderung für unsere Überzeugung, dass Erkenntnis über die Dinge vermittelst des Denkens möglich ist, welche der Irrtum darstellt, bedeutend abzuschwächen. Zunächst besitzt der inideale Verstand in der Regel ein Charakteristikum, welches wir noch nicht beschrieben haben, weil es für die bisherigen Betrachtungen ein unwesentliches Detail darstellte, in diesem Zusammenhang aber durchaus nicht unwichtig ist: Er vermag nicht einfach bloß, Aussagen als wahr zu denken; sondern er kann sie alternativ dazu auch unter Vorbehalt als wahr denken, das ist er denkt sie zwar als wahr, denkt aber zugleich die Metaaussage – welche zugleich auch wieder eine Aussage ist – über jene Aussage, dass es möglich oder gar wahrscheinlich ist, dass sie das Vorderglied eines Irrtums darstellt, das ist späterhin als falsch erkannt werden wird. Dieses Denken unter Vorbehalt tritt für gewöhnlich in verschiedenen Abstufungen auf, von dem Fall, dass ein solcher Vorbehalt gar nicht besteht und sich der Verstand absolut gewiss ist, dass die gedachte Aussage wahr ist, etwa weil er sie unzählige Male von Neuem geprüft hat; über den häufigen Fall, dass er das Auftreten eines Irrtums für unwahrscheinlich aber möglich hält; bis hin zu dem Fall, dass er dieses sogar für wahrscheinlich hält, obwohl er die Aussage immer noch als wahr denkt. Dabei besteht wohlgemerkt kein Kontinuum zwischen diesen unter Vorbehalt affirmativ gedachten Aussagen und einer dubitativ gedachten Aussage; denn eine Aussage als wahr zu denken, aber gleichzeitig einen Irrtum für wahrscheinlich zu halten, unterscheidet sich immer noch fundamental davon, sie dubitativ zu denken, das ist sie weder als wahr noch als unwahr zu denken und sich die Frage zu stellen, was zutreffe. Betrachtet man jedenfalls ausschließlich Aussagen, die ohne Vorbehalt gedacht werden, das ist derer sich der Verstand ganz und gar gewiss ist: So verschwindet offensichtlich der Irrtum nicht völlig, doch ist die Häufigkeit seines Auftretens bereits drastisch reduziert. Nehmen wir etwa die große Häufigkeit, mit der wir uns bei einfachen arithmetischen Operationen irren, derer wir uns dabei völlig bewusst sind; wohingegen solche Irrtümer praktisch nicht vorkommen, wenn wir nur solche Operationen in Betracht ziehen, bei denen wir uns des Ergebnisses ganz sicher sind, weil wir es vielfach überprüft haben. Man kann dann die Ansicht, dass wir durch das affirmative Denken einer Aussage ein wahres Verhältnis der Dinge erkennen können, derart einschränken, dass wir davon nur dann ausgehen, wenn die Aussage ohne Vorbehalt, mit völliger Gewissheit als wahr gedacht wird; wodurch sich die Problematik des Irrtums bereits deutlich verringert.

Ein weiteres Argument, welches den Irrtum zumindest weniger kritisch erscheinen lässt, beruht auf einer gewissen Fixpunkteigenschaft des Verstandes. Denn wir stellen fest, dass der Verstand bisweilen zwar durchaus zunächst eine Aussage A und dann die ihr gegenteilige Aussage B als wahr denkt, welches einen Irrtum darstellt; dass aber in der Regel dann B einen Fixpunkt des Denkens darstellt, das ist dass von dem Augenblick an, da B zum ersten Male als wahr gedacht wird, fortan nur noch B als wahr gedacht wird und niemals mehr A, sodass A auch nie als wahr gedacht worden wäre, wäre B von Anfang an als wahr gedacht worden. Dies hängt damit zusammen, dass der Verstand nicht einfach willkürlich mal A und mal B für wahr hält; stattdessen tritt bei ihm, wie schon oben bemerkt, ein Bewusstsein ein, warum A falsch war, wenn er von A zu B wechselt; denn A hat er natürlich im Gedächtnis behalten und würde ohne ein solches Bewusstsein des offensichtlichen Widerspruchs gewahr, den es darstellt, erst A und dann B als wahr zu denken. Es kommt natürlich ab und an zu Ausnahmen von dieser Regel, wenn etwa zuerst B, dann A und dann wieder B als wahr gedacht wird. In diesem Falle besteht meist beim zweiten Denken von B ein Bewusstsein, warum das beim Denken von A aufgetretene Bewusstsein, dass B falsch sei, selbst wieder falsch ist; fortan wird dann nur noch B als wahr gedacht. Daran zeigt sich, dass es streng genommen nicht B alleine ist, das einen Fixpunkt darstellt, sondern B gemeinsam mit der Begründung, warum B richtig und A falsch ist, von welcher ein Bewusstsein im Verstande besteht. Es kann dann bisweilen zu einer regelrechten Iteration kommen, bei der bei jedem neuen Denken von A oder B auch die Begründung, warum die jeweilige Aussage richtig ist, sich verändert und sich ihrer finalen Form ein Stück weiter annähert, bis schließlich der Fixpunkt erreicht ist, der sich aus der Aussage B und ihrer finalen Begründung zusammensetzt. Nicht notwendigerweise muss dabei die Begründung der Richtigkeit einer Aussage sich bei einem Wechsel zwischen zwei widersprüchlichen Aussagen ändern; schließlich kommt es auch vor, dass der Verstand die gleiche Aussage wie zuvor erneut denkt, dabei aber gewahr wird, dass ihre Begründung angepasst werden muss, obwohl er die Aussage selbst nicht für falsch hält. Es gibt natürlich auch die andere Erscheinung, dass der Verstand zuerst A und dann B als wahr denkt, ohne dass bei ihm ein Bewusstsein eintritt, warum A falsch ist, weil er schlicht vergessen hat, oder sich sonstwie nicht gewahr ist, zuvor A gedacht zu haben, welches die Konsequenz einer anderen seiner Inidealitäten als des Irrtums darstellt; diesen Fall wollen wir aber nicht in Betracht ziehen, indem wir entweder ein hinreichendes Erinnerungsvermögen des Verstandes oder aber den Zugang zu in der Außenwelt vorhandenen Mitteln der Aufbewahrung zuvor gedachter Aussagen voraussetzen. Jedenfalls ergibt sich, dass, ein hinreichendes Erinnerungsvermögen des Verstandes vorausgesetzt, vermittelst der beschriebenen Iteration die Wahrscheinlichkeit mit der Zeit beliebig klein gemacht werden kann, dass eine als wahr gedachte Aussage Vorderglied eines Irrtums ist und später als falsch erkannt werden wird. Damit lässt sich freilich ein Irrtum niemals mit absoluter Gewissheit ausschließen, und selbst eine gänzlich beliebig kleine Wahrscheinlichkeit dafür lässt sich aufgrund der zeitlichen Begrenztheit des mängelbehafteten realen Verstandes nicht erreichen. Wie im Falle des vorigen Arguments jedoch wird dadurch, sofern die richtigen Voraussetzungen gestellt werden, die Bedeutung des Irrtums in der Praxis drastisch geschmälert.

Überhaupt sollte die praktische Relevanz des Irrtums nicht überschätzt werden, so groß auch die theoretische Herausforderung ist, vor die er uns stellt. Man muss zwar gewisse Voraussetzungen stellen, nämlich dass der denkende Verstand nicht zu rudimentär und inideal ist, und gegebenenfalls die oben diskutierten Vorgehensweisen anwenden, mit deren Hilfe das Auftreten des Irrtums sich drastisch reduzieren lässt: Dann aber ist der Irrtum eine immer nur vereinzelt und ausnahmsweise auftretenden Erscheinung, wohingegen der Verstand regelhaft und in der übergroßen Mehrheit der Fälle eben nicht irrt. Die besagten Verfahren zur Reduktion der Irrtumshäufigkeit lassen sich leicht zur Vorschrift für den Verstand machen; und dass das Vorhandensein eines hinreichend nichtrudimentären Verstandes in der Wirklichkeit zumindest möglich ist, beobachten wir nicht nur empirisch, sondern es beweist sich auch dadurch, dass es uns keine Schwierigkeit bereitet, dieses Vorhandensein, ja gar die Existenz eines dem idealen fast beliebig nahekommenden Verstandes, uns vorzustellen.

Wir folgern also: dass es zwar aufgrund des Irrtums für den konkret realisierten Verstand niemals möglich ist, mit letzter Gewissheit auszuschließen, dass eine von ihm für wahr gehaltene Aussage gar nicht wahr sein kann, weil sie von einer später als wahr gedachten gegensätzlichen Aussage widerlegt wird; dass aber andererseits der Irrtum, gewisse Verhältnisse vorausgesetzt, deren Erfüllung in der Wirklichkeit möglich ist und auf die man sich leicht beschränken kann, stets die Ausnahme und nie die Regel, immer ein Seltenes und Außergewöhnliches darstellt; und dass das Denken dem Grundsatz nach in sich konsistent ist. Bemerkenswerterweise aber ist diese Tatsache allein schon ausreichend für den folgenden Gang unserer Argumentation. Denn sie legt es nahe, das ist macht es plausibel, dass es sich, wenn gegensätzliche Aussagen im Verstande aufeinanderfolgen, bei zumindest einer davon um nichts weiter handelt als eine durch die Imperfektion des Verstandes verursachte Abweichung von einer Norm, welche sich durch die mehrheitliche und grundsätzliche Konsistenz konstituiert, die selbst das Denken eines imperfekten Verstandes besitzt: Diese Norm eines perfekten Denkens aber stellt gerade der oben eingeführte ideale Verstand zur Verfügung. Unter einer solchen Annahme lässt sich auch unser bisheriges Verständnis des Irrtums vom Kopf auf die Füße stellen: Hatten wir diesen bisher in einer relativen, dem empirischen Denken immanenten Weise definiert, so können wir ihn nun in absoluter Weise als die Abweichung von dem Referenzdenken des idealen Verstandes definieren.

Man kann nun natürlich noch die Frage stellen, ob nicht ein von dem empirisch gegebenen gänzlich unabhängiger Verstand, welcher in keiner durch Erinnerungen und gleichbleibenden Charakter hergestellten Kontinuität zu jenem steht, nicht ein gänzlich anderes Referenzdenken konstituieren könne, sodass es doch keine wahrhaft universelle Norm des Denkens gäbe. Die bemerkenswerte Konsistenz, die wir in dem uns gegebenen Denken vorfinden, ist zwar ein starkes Indiz dafür, dass sich diese auch auf ein dazu heterogenes Denken und somit alles Denken erstreckt; aber restlos ausschließen lässt es sich in dieser Weise nicht. Um den hier also nötigen Sprung in der Argumentation zu tun, können wir nur die eigentlich allem Philosophieren vorausgesetzte Annahme verwenden, dass was unvorstellbar ist auch unmöglich ist: Und unvorstellbar ist es uns in der Tat, dass selbst ein von dem unseren gänzlich verschiedener Verstand zu einer Aussage über die Dinge kommen könnte, die abweicht von einer Aussage, die wir als wahr denken und vielfach und gewissenhaft überprüft haben.

Indem wir die Existenz einer Norm des Denkens plausibilisiert haben, welche in eindeutiger Weise festlegt, zu welchen Ansichten über die Verhältnisse der Dinge das Denken immer wieder, von einzelnen Irrtümern abgesehen, in genau derselben Weise gelangen wird: So haben wir einen großen Schritt hin zur obigen Behauptung getan, vermittelst des Denkens ließen sich absolute, im weitestmöglichen Sinne gültige Wahrheiten auffinden. Was sich dann nur noch dagegen einwenden ließe, wäre: Dass dieses Referenzdenken, von dem das tatsächliche Denken nur in Ausnahmefällen abweicht, ja nicht notwendigerweise auch die Wahrheit über die Dinge abbilde, sondern diese womöglich ein dem Denken prinzipiell nicht zugängliches Wesen besäßen. Die Frage indes, ob dies der Fall sei, ist derart tiefgründig, dass sie sinnlos wird. Was, so ließe sich darauf erwidern, soll denn dann überhaupt Wahrheit sein, wenn nicht dasjenige, was wir denkend erkennen? Was anderes wären die Verhältnisse der Dinge an sich, als die Verhältnisse der Gegenstände unseres Denkens? Was anderes könnte man wirkliche Dinge nennen, als was wir, aus der Quelle der empirischen Anschauung schöpfend, in unserem Denken für solche halten? Nichts kann an die Stelle des Denkens treten. Unmittelbar gewiss ist uns hingegen, dass was wir denken wahr sei; und eigentlich muss diese Annahme auch jedem Philosophieren vorausgehen.

Da wir nunmehr nicht nur eine Phänomenologie des Denkens, wie es sich in der Wirklichkeit manifestiert, gegeben haben, sondern auch die besagte Grundannahme von der Fähigkeit des Denkens, absolute Wahrheiten unmittelbar abzubilden, von allen Seiten beklopft und für gut befunden haben, können wir zur zentralen Aussage dieser Schrift kommen, welche sich als die bemerkenswerte Konsequenz dieser Grundannahme ergibt. Nehmen wir an, der Verstand denkt als Aussage die Eigenschaft eines gewissen Objekts, welche in seiner inneren Struktur oder einer Beziehung zu anderen Objekten bestehen kann; nehmen wir weiterhin an, diese Eigenschaft besitze eine gewisse Nichttrivialität, welches sicherlich vielen Eigenschaften von Objekten zukommt. Wenn wir nun aber davon ausgehen, dass diese vom Verstande gedachte Aussage absolut wahr ist, dass also nicht nur der Verstand bei jedem Male, da er das besagte Objekt denkt, immer wieder von Neuem ihm dieselbe Eigenschaft zuspricht, sondern dass es schlechterdings und letztgültig unmöglich ist, dass ihm genau diese Eigenschaft nicht zukomme: Dann legt dies, in Verbindung mit dem nichttrivialen Charakter der besagten Eigenschaft, nahe, dass nicht etwa allem Denken zukommende Grundcharakteristika dafür sorgen, dass beim jedesmaligen Denken des Objekts wieder dieselbe Eigenschaft im Verstande auftritt; sondern dass vielmehr gerade umgekehrt dem Objekt ein von allem Denken, ja von aller Wirklichkeit unabhängiges, und dennoch tatsächliches Sein zukommt; welches wir als geistiges Sein bezeichnen.

Dieses Argument bedarf dabei in der Tat beider Voraussetzungen: Für die erstere ist das offensichtlich, doch auch das Vorhandensein von Objekten mit Eigenschaften, die sich durch eine gewisse Nichttrivialität auszeichnen, ist durchaus wesentlich. Zumindest nicht a priori und notwendigerweise muss nämlich der Gegenstand einer absolut wahren Aussage auch tatsächliches Sein besitzen; dafür ist dessen Lebensgrundlage zu flüchtig. Wären alle Eigenschaften, die das Denken Objekten beilegt, rundheraus trivial, so spräche die Tatsache, dass dadurch absolute Wahrheit ausgedrückt wird, wohl eher für das bloße Vorhandensein universell gültiger Regeln als für das tatsächliche Sein der gedachten Objekte. Dadurch aber, dass diese eine komplexe und nichttriviale Struktur besitzen, erscheint es sich stattdessen vielmehr so zu verhalten, dass diese Objekte gänzlich unabhängig vom Denken existieren, und das Denken, indem es deren Eigenschaften abbildet, ihre Struktur gleichsam entdeckt und erkundet. Gleichwohl soll das nicht heißen, es käme nur Objekten mit nichttrivialen Eigenschaften geistiges Sein zu: Denn es ist nicht ersichtlich, in welcher Weise sich solche Objekte derart fundamental von den anderen unterscheiden sollten, dass es gerechtfertigt wäre, ihnen einen grundsätzlich anderen ontologischen Status zuzusprechen; dementsprechend reicht es schon, dass manche Objekte nichttriviale Eigenschaften besitzen, um das geistige Sein aller gedachten Objekte plausibel zu machen.

Wir wollen diese Überlegungen an einem Beispiel erläutern. Und zwar betrachten wir folgendes Objekt: den Grenzwert der Reihe der inversen Fakultäten, wodurch es eindeutig definiert ist. Eine durchaus nichttriviale Eigenschaft, die dieses Objekt besitzt, ist etwa seine Darstellung als Dezimalzahl. Jedes überhaupt nur vorstellbare Denken wird immer auf genau dieselbe Ziffernfolge stoßen, die aber doch von keiner einfach ersichtlichen Regel bestimmt wird. Die bemerkenswerte Tatsache, dass diese Struktur sich als ganz und gar universell darstellt und es schlechterdings unmöglich und unvorstellbar ist, dass sie anders beschaffen sei, dass sie zugleich aber eine gewisse Komplexität besitzt und sich in einer nichttrivialen Weise aus der Definition ergibt, weist darauf hin, dass die so definierte Zahl unabhängig von unserem Denken existiert. Obgleich dies für die mathematischen Objekte besonders anschaulich ist, beschränkt sich die vom Denken unabhängige Existenz indes keineswegs auf diese. Als nichtmathematische Beispiele können wir etwa anführen: die einem Satz der natürlichen Sprache innewohnende Struktur, wodurch an einer speziellen Stelle aus semantischen und grammatischen Gründen nur ein ganz bestimmtes Wort auftreten kann; die Struktur eines durch eine Erzählung erzeugten Mikrokosmos von Figuren, in dessen Rahmen an einer bestimmten Stelle der Handlung die Figuren nur in einer einzigen Weise sich verhalten können, ohne dass es zu einem Bruch in der Erzählung kommt; die Struktur eines Ensembles von physischen Gegenständen, welche unter gewissen Naturgesetzen nur in einer möglichen Weise miteinander wechselwirken können. Der Satz, die Erzählung, das Ensemble physischer Gegenstände scheinen darum, genauso wie alle anderen denkbaren Objekte überhaupt, eine vom Denken unabhängige, eben geistige Existenz zu besitzen.

Das einzig mögliche Kriterium, nach dem sich in vollster Allgemeinheit bestimmen kann, was geistig ist und welche Struktur dieses geistig Seiende besitzt, ist was und wie der oben eingeführte ideale Verstand denkt. Es sind zwei verschiedene Grundeigenschaften dieses idealen Verstandes, die unabdingbar sind, um einen solchen Maßstab darstellen zu können. Einerseits ist dies seine vollkommene Fehlerlosigkeit, worunter sich die Irrtumsfreiheit, die perfekte Schärfe des Gedankens und das perfekte Erinnerungsvermögen zusammenfassen lassen. Diese ist notwendig, um, wie oben ausgeführt, die Norm eines Referenzdenkens zur Verfügung stellen zu können. Andererseits kann man für einen solchen Maßstab auch keineswegs auf die zweite Grundeigenschaft des idealen Verstandes verzichten, welche wir oben mit viel Mühe konstruiert haben, die dann aber zeitweilig etwas zurücktrat; nämlich seine Fähigkeit, beliebige Objekte zu denken. Diese ist deshalb unabdingbar, weil wir die Menge an geistig seienden Objekten nicht willkürlich darauf einschränken dürfen, was ein konkreter endlicher Verstand, der über keinen unendlich großen Begriffskreis verfügt, zu denken vermag; könnte doch eine andere Realisierung des Denkens in der Wirklichkeit in der Lage sein, ganz anderes zu denken, welchem aber ebenso geistiges Sein zuzusprechen wäre.

In gewisser Hinsicht besitzt das Verhältnis von idealem Verstand und geistig Seiendem einen paradoxen Zug: Denn der ideale Verstand existiert nie und nirgends in irgendeiner Form, doch bildet die Art, in der er Objekte dächte, wenn er tatsächlich existierte, exakt die geistig seienden Objekte ab, ja es scheint so, als bestimme sein Denken erst deren Struktur, ohne dass diese darum tatsächlich von ihm abhängig wären. Dementsprechend ist der grundlegende Satz der Lehre vom geistigen Sein, der an den Anfang dieser Schrift gestellt ist: Geistig ist, was gedacht werden kann; und nicht etwa: Geistig ist, was gedacht wird. Allgemein ist die Beziehung zwischen dem Denken und dem geistigen Sein, deren Entflechtung nebst der Darstellung der allgemeinen Struktur des geistig Seienden die Aufgabe des folgenden zweiten Hauptteils dieser Schrift sein wird, verwickelt und voll von Eigentümlichkeiten, die sich bis zu einem gewissen Grade unserem Verständnis vielleicht niemals erschließen werden.

Bevor wir uns dem besagten zweiten Teil der Schrift zuwenden, sei noch bemerkt, dass unsere Herleitung des geistigen Seins, wie schon unsere Wortwahl andeutete, indem wir auf Begriffe wie „nahelegen“ und „hinweisen“ zurückgriffen, keineswegs einen Beweis darstellt, sondern eine Plausibilisierung im Sinne der Schrift Über das Verhältnis von metaphysischer und immanenter Weltsicht. Dementsprechend sind wir auch aus der strengen metaphysischen Weltsicht herausgetreten, indem wir ein zeitlich ausgedehntes, erkenntnisfähiges Denken angenommen haben; welches beinhaltete, dass wir dieses Denken zur Quelle des Wissens über das geistig Seiende machten, während diese Quelle in der reinen metaphysischen Weltanschauung die Gesamtheit des wirklich Seienden ist. In diesem Rahmen konnten wir die Phänomenologie des Denkens entwickeln und aus dieser heraus es plausibel machen, warum alles was gedacht werden kann geistig ist. Diese Plausibilisierung ist natürlich nicht zwingend: Wenn einer die geistige Existenz von denkbaren Objekten rundheraus leugnete, obwohl dafür so überzeugend die Tatsache spricht, dass das Denken, in welcher Form es auch auftritt, immer wieder auf dieselben, oftmals höchst komplexen und strukturreichen Eigenschaften der Objekte trifft, etwa indem er dies auf eine kaum erklärliche Grundeigenschaft des Denkens zurückführte: So wäre ihm nur schwerlich beizukommen. Erst die philosophische Anschauung, die immer das letzte Wort behält, kann die Aussage „Geistig ist, was gedacht werden kann“ zur unumstößlichen Wahrheit erheben, die sich dann nicht mehr angreifen lässt; doch macht eine Plausibilisierung, wie wir sie hier gegeben haben, den Wesensgehalt einer unumstößlichen Wahrheit sehr viel deutlicher als ihre bloße Proklamation durch die Anschauung.

Nun also wenden wir uns der keineswegs einfachen Behandlung der Struktur alles Geistigen überhaupt und der grundlegenden Regeln des Denkens zu. Wie aus den vorangegangenen Ausführungen an mehreren Stellen klar wurde, ist die Grundeinheit alles geistig Seienden, welche zugleich dessen eigentlichen Träger darstellt, das Objekt. Ein Objekt aber besteht in nichts anderem als der Menge seiner Eigenschaften; wobei wir uns an diesem Punkte zunächst eine gewissermaßen naive Vorstellung davon machen können, was eine Eigenschaft eigentlich sei, und sich erst im Laufe der Untersuchung stärker herauskristallisieren wird, wie wir den Begriff abzugrenzen haben. Zwar denkt in gewisser Hinsicht der Verstand, wenn er ein Objekt denkt, mehr als eine bloße Menge an Eigenschaften, indem er diese Eigenschaften gleichsam in ein Stück gießt und daraus eine eigenständige, echtes Sein besitzende Entität bildet, und wir täten darum unter dem ontologischen Gesichtspunkte den Objekten Unrecht, wenn wir sagten, dass ein Objekt nichts weiter als eine Ansammlung von Eigenschaften sei; doch charakterisieren die Eigenschaften eines Objekts dieses vollständig, weshalb wir mit Recht sagen dürfen, dass es in nichts anderem als diesen bestehe. Unter dem praktischen Gesichtspunkte können wir darum ein Objekt mit einer Menge von Eigenschaften gleichsetzen, und im Folgenden wollen wir es in dieser Weise halten. Allerdings ist natürlich nicht jede beliebige Menge von Eigenschaften auch ein Objekt, welches als ein einfaches Gegenbeispiel eine Menge mit zwei einander widersprechenden Eigenschaften hat.

Für das Denken sind dabei die Eigenschaften das Ursprüngliche, nicht mehr weiter Zusammengesetzte, während es die Objekte daraus ableitet, und nicht umgekehrt. Auf der Ebene des Geistigen hingegen sind beide Sichtweisen gleichberechtigt und gewissermaßen dual zueinander: Man kann entweder die Eigenschaften als ursprünglich ansehen und ein Objekt definieren durch die Eigenschaften, die es besitzt; oder aber die Objekte als ursprünglich betrachten und eine Eigenschaft definieren durch die Objekte, welche sie teilen. Dennoch machen wir uns im Folgenden fast ausschließlich die erste Sichtweise zu eigen, eben weil es diejenige des Denkens ist.

Für die Objekte gilt das Extensionalitätsprinzip: Zwei Objekte A und B sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Eigenschaften besitzen, das ist A jede Eigenschaft besitzt, die B besitzt, und umgekehrt. Wir sagen dann auch, dass sie homoont sind oder zwischen ihnen Homoousie besteht. Dieses Verhältnis ist dabei, wie der Begriff zum Ausdruck bringt, ein Seinsverhältnis, eine Identität auf der Ebene des geistigen Seins. Dieser kann eine Identität auch im Denken, eine Homophrenie, entsprechen, muss es aber nicht: Zwei Objekte können homoont, aber heterophren sein; umgekehrt aber impliziert Homophrenie stets Homoousie. Das liegt daran, dass der Verstand, wenn er ein Objekt denkt, dieses nicht vermittelst der Gesamtheit seiner Eigenschaften denkt, sondern stattdessen durch eine Teilmenge dieser Eigenschaften, welche das Objekt definieren, das ist die restlichen Eigenschaften und damit das Objekt eindeutig festlegen; zu welchem Zwecke aber verschiedene Teilmengen dienen können. So sind etwa die vierte Primzahl und die natürliche Zahl zwischen sechs und acht heterophren, aber homoont, da sie ein und dasselbe Objekt darstellen, das aber in zwei verschiedenen Weisen gedacht wird. Das mag banal und offensichtlich erscheinen, zeugt aber von der Eigentümlichkeit des Verhältnisses zwischen Denken und Sein.

Wir wollen noch eine weitere Begrifflichkeit einführen. Wir sagen, dass ein Objekt A bestimmt ist, wenn jedes Objekt, das alle Eigenschaften von A besitzt, mit A identisch ist. Gibt es hingegen Objekte, die alle Eigenschaften von A besitzen, jedoch nicht mit A identisch sind, weil sie Eigenschaften besitzen, die A nicht besitzt, so sagen wir, dass A unbestimmt ist. In suggestiver, jedoch sehr treffender Weise verwenden wir für bestimmte Objekte den bestimmten, für unbestimmte Objekte den unbestimmten Artikel. So ist etwa ein (euklidisches) Dreieck ein unbestimmtes Objekt, da es viele Objekte mit den Eigenschaften eines Dreiecks gibt, die jedoch noch weitere Eigenschaften besitzen, etwa ein rechtwinkliges Dreieck oder das rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten die Länge eins besitzen. Hingegen ist das gleichseitige Dreieck mit Seitenlänge eins ein bestimmtes Objekt, da dessen Eigenschaften es nicht zulassen, ihm weitere hinzuzufügen, ohne dass ein Widerspruch entstünde. Wir fordern für ein unbestimmtes Objekt A, dass es sämtliche Eigenschaften besitzen muss, die alle diejenigen bestimmten Objekte gemeinsam haben, welche alle Eigenschaften von A besitzen. Beispielsweise gibt es kein unbestimmtes Objekt, welches nur die Eigenschaft besitzt, ein euklidisches Dreieck zu sein, und diejenige, eine Winkelsumme von zwei rechten Winkeln aufzuweisen, nicht besitzt; denn jedem bestimmten Objekt, welches die Eigenschaft besitzt, ein Dreieck zu sein, ist auch jene eigen.

Wenn wir sagen, dass ein Objekt A mit einer Eigenschaft E unvereinbar ist, sofern A die Eigenschaft E nicht nur nicht besitzt, sondern sie sich A auch nicht hinzufügen lässt, das ist es kein Objekt A' gibt, das alle Eigenschaften von A sowie E besitzt: So gilt für bestimmte Objekte, dass sie eine beliebige Eigenschaft entweder besitzen oder damit sogar unvereinbar sind; wohingegen unbestimmte Objekte eine Eigenschaft auch nicht besitzen können, ohne damit unvereinbar zu sein. So besitzt etwa ein Dreieck die Eigenschaft, rechtwinklig zu sein, nicht, ist damit aber auch nicht unvereinbar, während dies für das gleichseitige Dreieck mit Seitenlänge eins unmöglich ist und es in diesem Falle tatsächlich unvereinbar damit ist, rechtwinklig zu sein.

Die Unterscheidung zwischen bestimmten und unbestimmten Objekten ist in vielen Zusammenhängen wichtig; so zeigt sich in der Schrift Über die Wirklichwerdung des geistig Seienden, dass es nur die bestimmten Objekte sind, die auch wirklich werden können. In gewisser Hinsicht kann man die bestimmten zu den Objekten im eigentlichen Sinne erklären; denn die unbestimmten Objekte besitzen eine gewisse Redundanz: Jede Aussage über ein unbestimmtes Objekt lässt sich in eine Aussage über alle von diesem abgeleiteten bestimmten Objekte überführen. Zugleich zu ihrem Objektsein fungieren die unbestimmten Objekte somit auch als eine Art von Grundklassen, in welche sich die bestimmten Objekte ordnen lassen. Deshalb könnte man sogar soweit gehen wollen, den ontologischen Status der unbestimmten Objekte in Frage zu stellen, welchen wir als denselben der bestimmten angesetzt haben, und ihnen das geistige Sein abzusprechen. Eine solche Position verkennte jedoch, in welch natürlicher Weise sich auch die unbestimmten Objekte als Gegenstand des Denkens darstellen, welches sie durch schlichte Zusammenstellung von Eigenschaften bildet und wie selbstverständlich zum Bestandteil von Aussagen macht. So weit gehen und diese Position übernehmen wollen wir deshalb nicht: Bestimmte und unbestimmte Objekte sind beide gleichermaßen Träger des geistigen Seins.

Aus der Art, in der wir bis hierher Konzepte eingeführt und Argumente vorgetragen haben, erhellt bereits, dass der geeignete Rahmen zur Beschreibung der geistigen Objekte die Mengenlehre ist und wir uns mindestens einer Prädikantenlogik erster Stufe bedienen müssen, um in geeigneter Weise über die Objekte sprechen zu können. Die in diesem Rahmen formulierten Betrachtungen, welche der philosophischen Anschauung entspringen, finden dabei auf einer Metaebene und in einer Metasprache statt; in die Lage, solche Betrachtungen anzustellen, versetzt uns dabei erst der Rückzug auf jene „sichere Feste“ der Schrift Über das Verhältnis von metaphysischer und immanenter Weltsicht, welche sich auf dem Alsob gründet, man könne Teil der Welt sein und zugleich über sie sprechen, als betrachte man sie von außerhalb. Man muss sich dabei hüten, die beiden Ebenen und Sprachen nicht zu vermischen; so sind etwa die oben eingeführten „Eigenschaften“ eines Objekts, zu einem anderen homoont zu sein oder mit einer Eigenschaft E unvereinbar zu sein, Eigenschaften auf dieser Metaebene und gehören nicht etwa zu den oben eingeführten Eigenschaften auf der Ebene des geistig Seienden, in denen ein denkbares Objekt besteht.

Als Mengenlehre zur Beschreibung der geistigen Objekte wollen wir das Zermelo-Fraenkel-System mit Urelementen verwenden, jedoch in einer stark reduzierten Form. Das ist wir setzen folgende Axiome an: das Extensionalitätsaxiom, wonach zwei Mengen identisch sind, wenn sie dieselben Elemente enthalten; das Aussonderungsaxiom, das es erlaubt, zu einer Menge M und einer Eigenschaft X (im Sinne der Metasprache) die Menge M' aller Objekte aus M, die X besitzen, zu bilden; das Paarmengenaxiom, wonach für zwei Mengen oder zwei Urelemente, oder eine Menge und ein Urelement, die Zusammenfassung beider in einer Menge möglich ist; das Vereinigungsaxiom, demzufolge es zu einer Menge M von Mengen eine Menge M' gibt, welche alle Elemente der Elemente von M enthält; das Potenzmengenaxiom, welches besagt, dass es zu jeder Menge M die Menge M' der Teilmengen von M gibt, und dass sich zu einem Urelement die Menge bilden lässt, die genau dieses Urelement enthält; und schließlich das Urelementaxiom, wonach Urelemente selbst keine Elemente enthalten. Das heißt wir verzichten auf das Unendlichkeits-, Fundierungs-, Ersetzungs- und Auswahlaxiom der üblichen zermelo-fraenkelschen Mengenlehre. Die verbleibenden können wohl den Anspruch erheben, besonders elementar zu sein und sich der Anschauung mehr noch als die anderen aufzudrängen.

Anwenden wollen wir diese Mengenlehre einerseits auf die Objekte und andererseits die Eigenschaften (hier nicht im metasprachlichen Sinne). Da sich, wie wir oben ausgeführt haben, Objekte als Mengen von Eigenschaften und Eigenschaften als Mengen von Objekten betrachten lassen, ergibt sich die Notwendigkeit der Mengenlehre hier in natürlicher Weise; doch wollen wir auch allgemeine Mengen von Eigenschaften, die keine Objekte, und allgemeine Mengen von Objekten, die keine Eigenschaften darstellen, sowie Mengen von derartigen Mengen, betrachten. Demnach können wir prädikantenlogische Aussagen treffen, in denen wir über einen oder mehrere der folgenden Grundbereiche quantifizieren: über alle denkbaren Objekte; über alle Eigenschaften; über alle Mengen, die sich mithilfe der Axiome, ausgehend von den Objekten als Urelementen, bilden lassen; und entsprechend über alle Mengen, die sich aus den Eigenschaften als Urelementen bilden lassen.

Zusätzlich zu den Grundaxiomen der Mengenlehre führen wir noch ein weiteres, unseren Betrachtungen über die denkbaren Objekte spezifisches Axiom ein: Und zwar postulieren wir, dass die Gesamtheit sowohl der Objekte als auch der Eigenschaften eine Menge darstellt; wobei sich das eine aus dem anderen ergibt, wenn man das Potenzmengenaxiom und das Prinzip, wonach Objekte als Mengen von Eigenschaften und Eigenschaften als Mengen von Objekten dargestellt werden können, voraussetzt. Die beiden Mengen, diejenige aller Objekte und diejenige aller Eigenschaften, setzen wir als die gegebene Grundlage für Mengenkonstruktionen gemäß den reduzierten Zermelo-Fraenkel-Axiomen an. Das Postulat beruht darauf, dass wir dem idealen Denken die Fähigkeit zubilligen müssen, aus der Gesamtheit der Objekte für beliebige Eigenschaften diejenigen auszusondern, die diese besitzen, wie wir unten noch genauer darlegen werden; welches aber nur für Mengen möglich ist, nicht aber für echte Klassen im Sinne der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre. Zwar wird allgemein angenommen, dass die Gesamtheit schon der mathematischen, und somit erst recht aller Objekte, eine solche echte Klasse sei; welches durch das Paradoxon begründet wird, das entstünde, setzte man eine Menge aller Objekte an: Diese müsste auch alle Elemente ihrer eigenen Potenzmenge enthalten und gemäß dem Satz, dass eine Potenzmenge einer Menge stets mächtiger ist als diese, mächtiger als sie selbst sein. Doch beruht dieses Argument auf der Annahme, dass es zu einer beliebigen Menge von denkbaren Objekten stets ein weiteres denkbares Objekt gebe, das durch deren Zusammenfassung entsteht; welche jedoch nicht selbstverständlich und, setzt man jenes Postulat voraus, sogar vielmehr falsch ist. Der scheinbare Widerspruch dieser Überlegung zum oben eingeführten Potenzmengenaxiom löst sich sofort auf, wenn man bedenkt, dass dieses nur die Möglichkeit einer Konstruktion in der Metasprache sicherstellt, nicht aber die eigentliche Existenz eines denkbaren Objekts, als ein welches wir die auf der Metaebene gebildeten Mengen von Objekten keineswegs ansehen dürfen.

Wir stehen an diesem Punkte unserer Betrachtung der Gesamtheit der Objekte noch als einer unüberschaubaren, ungeordneten und strukturlosen Menge gegenüber. Es soll uns deshalb jetzt darum zu tun sein, die ihr intrinsischen Strukturen vermittelst der Einführung geeigneter Begriffe der Metasprache sichtbar zu machen und herauszustellen. Wir werden diese Begriffe dabei zunächst rein formal, das ist unter bloßer Verwendung der mengentheoretischen Charakterisierung der Objekte, definieren; erst weiter unten lassen wir die beschriebenen Strukturen auch zu Fleisch und Blut gelangen, indem wir ihre anschauliche Bedeutung deutlich machen.

Als ersten Begriff führen wir denjenigen der Klasse ein; dabei ist dieser, so sei vorausgeschickt, nicht mit dem gleichlautenden Begriff der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre zu verwechseln, wiewohl er damit in der Tat verwandt ist; da wir postuliert haben, es in der Metasprache überhaupt nur mit Mengen zu tun zu haben, jede Klasse im letzteren Sinne somit eine Menge ist und eine Redundanz entsteht, wird der Ausdruck „Klasse“ jedoch glücklicherweise für unsere Zwecke frei und es sind derartige Verwechslungen ausgeschlossen. Wir definieren also eine Klasse als eine nichtleere Menge von Objekten K, für die es eine Menge M von Eigenschaften derart gibt, dass die Menge aller Objekte, die sämtliche Eigenschaften aus M besitzen, genau K ist. Man beachte, dass dieser Ausdruck nicht bloß eine Menge von Objekten meint, die gewisse Eigenschaften gemeinsam haben; sondern eine Klasse muss auch vollständig sein in dem Sinne, dass sie zu einer gegebenen Eigenschaftsmenge sämtliche in der Objektallmenge vorhandenen Objekte enthält, welche die Eigenschaften der Eigenschaftsmenge besitzen.

Die erzeugende Eigenschaftsmenge zu einer gegebenen Klasse ist dabei nicht eindeutig bestimmt; jedoch gibt es zu einer Klasse K stets eine ausgezeichnete erzeugende Eigenschaftsmenge, und zwar die maximale, das ist diejenige, welcher sich keine weiteren Eigenschaften mehr hinzufügen lassen, ohne dass die erzeugte Klasse K sich änderte. Diese ist in der Tat eindeutig bestimmt; denn man nehme an, dass es zwei verschiedene maximale erzeugende Eigenschaftsmengen M und M' zu einer Klasse K gäbe. Aufgrund der angenommenen Maximalität kann M nicht Teilmenge von M' sein und somit gibt es eine Eigenschaft E, die in M enthalten ist, aber nicht in M'. Diese Eigenschaft E aber müssen sämtliche Objekte in K besitzen, woraus folgt, dass sie sich zur Menge M' hinzufügen ließe, im Widerspruch zu deren angenommener Maximalität. Ähnlich zeigt man, dass auch jede erzeugende Eigenschaftsmenge zu einer gegebenen Klasse Teilmenge der maximalen erzeugenden Eigenschaftsmenge sein muss: Wäre eine erzeugende Eigenschaftsmenge M keine Teilmenge der maximalen erzeugenden Eigenschaftsmenge M', so enthielte jene eine Eigenschaft E, die diese nicht enthält; welche dann aber auch alle Objekte der Klasse besitzen müssten, sodass sie sich M' hinzufügen ließe, erneut im Widerspruch zu deren Maximalität. Wir sagen, dass eine Menge M von Eigenschaften eine Eigenschaft E notwendig impliziert, wenn jedes Objekt, das alle Eigenschaften aus M besitzt, auch E besitzt. Man kann dann aus einer beliebigen erzeugenden Eigenschaftsmenge M einer Klasse deren ausgezeichnete, maximale erzeugende Eigenschaftsmenge gewinnen, indem man der Menge M alle von ihr notwendig implizierten Eigenschaften hinzufügt. Dass von der Eigenschaftsmenge M notwendig implizierte Eigenschaften sich ihr hinzufügen lassen, ohne dass sich die erzeugte Klasse ändert, wodurch die entstehenden Eigenschaftsmengen dann auch in der maximalen erzeugenden Eigenschaftsmenge liegen, folgt dabei daraus, dass alle Objekte einer Klasse sämtliche von einer ihrer erzeugenden Eigenschaftsmengen notwendig implizierten Eigenschaften besitzen müssen. Dass umgekehrt jede Eigenschaft, die Element der maximalen erzeugenden Eigenschaftsmenge ist, durch M notwendig impliziert wird, ergibt sich wie folgt: Man setze, dass es eine Eigenschaft E in der maximalen erzeugenden Eigenschaftsmenge gibt, die nicht von M notwendig impliziert wird. Dann muss es ein Objekt in der Klasse geben, das E nicht besitzt, im Widerspruch zu der Annahme, dass E Element einer erzeugenden Eigenschaftsmenge ist. Aufgrund dieser Überlegungen wollen wir im Folgenden, wenn wir nichts anderes angeben, unter der erzeugenden Eigenschaftsmenge implizit die maximale erzeugende Eigenschaftsmenge verstehen.

Zu einem unbestimmten Objekt gibt es stets eine Klasse von Objekten, die sich von diesem ableiten, das ist alle seine Eigenschaften besitzen (dies gilt auch für ein bestimmtes Objekt, allerdings enthält die resultierende Klasse dann nur dieses selbst als Element); die Menge seiner Eigenschaften ist dann die erzeugende Eigenschaftsmenge. Umgekehrt aber muss die erzeugende Eigenschaftsmenge einer Klasse nicht notwendigerweise ein Objekt bilden. Wir wollen eine Klasse, die sich aus einem Objekt ableiten lässt, eine natürliche Klasse nennen; wohingegen wir alle anderen Klassen als assoziative Klassen bezeichnen.

Es ist sowohl möglich, dass eine Klasse echte Teilmenge einer anderen ist, als auch dass zwei Klassen sich überschneiden, das ist dass sie Objekte gemeinsam haben, ohne dass die eine Teilmenge der anderen wäre. In diesem Falle bildet die Schnittmenge selbst wieder eine Klasse, deren erzeugende Eigenschaftsmenge die Vereinigung der erzeugenden Eigenschaftsmengen der beiden sich überschneidenden Klassen ist. Außerdem gilt: Ist die Klasse K Teilmenge der Klasse K', so ist die erzeugende Eigenschaftsmenge von K' Teilmenge derjenigen von K; denn gäbe es eine Eigenschaft E, die in der erzeugenden Eigenschaftsmenge von K', aber nicht derjenigen von K liegt, so besäßen alle Objekte in K' diese Eigenschaft, somit aber auch alle Objekte in K, weshalb sie sich der erzeugenden Eigenschaftsmenge von K hinzufügen ließe, im Widerspruch zu deren Maximalität.

Klassen sind bereits sehr spezielle Mengen von Objekten, aus deren Definition sich eine Reihe an Charakteristika ableiten lässt. Für unsere Zwecke müssen wir aber noch stärkere Konzepte als dasjenige der Klasse einführen. Dafür müssen wir zunächst zwei weitere Definitionen vorausschicken. Wir nennen eine Eigenschaft gebunden, wenn diese und alle von ihr notwendig implizierten Eigenschaften gemeinsam ein (bestimmtes oder unbestimmtes) Objekt bilden; ansonsten nennen wir sie ungebunden. Obgleich es aus dieser mengentheoretischen Definition allein nicht folgt, werden wir unten sehen, dass sich auch kein Objekt ausschließlich aus ungebundenen Eigenschaften bilden lässt; außerdem wird sich ergeben, dass die Menge der gebundenen Eigenschaften eines Objekts alle seine ungebundenen Eigenschaften schon notwendig impliziert. Weiterhin definieren wir zu einer Menge von Objekten M die ihr zugehörige Universaleigenschaftsmenge als die Menge aller Eigenschaften, die Objekte in M besitzen; das ist eine Eigenschaft E liegt genau dann in der zu M gehörenden Universaleigenschaftsmenge, wenn es ein Objekt in M gibt, das E besitzt. Schließlich sei für eine Klasse ihre Obereigenschaftsmenge ihre Universaleigenschaftsmenge ohne die sie erzeugende Eigenschaftsmenge; in Analogie kann man dann letztere auch ihre Untereigenschaftsmenge nennen. Unter Verwendung dieser Begriffe können wir nun eine weitere Struktur des geistig Seienden herausstellen. Wir nennen eine Menge von Objekten U ein Universum, wenn sie eine natürliche Klasse mit mehr als einem Element ist und zusätzlich jedes beliebige Objekt, das eine gebundene Eigenschaft aus der Obereigenschaftsmenge von U besitzt, auch Element von U ist. Wir fordern also für Universen zusätzlich zu der Klasseneigenschaft (eine Eigenschaft im Sinne der Metasprache) eine gewisse Vollständigkeit oder Abgeschlossenheit gegenüber den darin vorkommenden Eigenschaften; warum wir uns dabei auf die gebundenen Eigenschaften beschränken, wird weiter unten deutlich werden. Im Übrigen nennen wir ein Universum echt oder auch eigentlich, wenn es kein anderes Universum als echte Teilmenge enthält.

Anders als bei Klassen gilt für zwei Universen, dass entweder das eine Universum eine Teilmenge des anderen ist, oder aber sie vollständig disjunkt sind. Dies lässt sich wie folgt beweisen. Man setze zwei nicht disjunkte Universen U und U', von denen keines Teilmenge des anderen ist. Man wähle also ein Objekt O, welches Element sowohl von U als auch U' ist. Weiterhin wähle man eine gebundene Eigenschaft E, die in der erzeugenden Eigenschaftsmenge von U, aber nicht derjenigen von U' liegt. Dass es eine solche geben muss, sieht man wie folgt: Die erzeugende Eigenschaftsmenge von U kann keine Teilmenge derjenigen von U' sein, weil sonst U' eine Teilmenge von U wäre; sodass es zumindest Eigenschaften geben muss, welche die besagte Bedingung erfüllen. Da U und U' aber natürliche Klassen sind und somit ihre jeweilige erzeugende Eigenschaftsmenge Objekte bildet, muss die erzeugende Eigenschaftsmenge von U gebundene Eigenschaften enthalten; und es ist auch unmöglich, dass diese allesamt in der erzeugenden Eigenschaftsmenge von U' liegen, da wir postuliert hatten, dass die Menge der gebundenen Eigenschaften eines Objekts seine ungebundenen notwendig impliziert, mithin alle Eigenschaften der erzeugenden Eigenschaftsmenge von U auch in derjenigen von U' lägen, was wir bereits ausgeschlossen hatten. Wenn nun aber eine gebundene Eigenschaft E in der erzeugenden Eigenschaftsmenge von U, nicht aber derjenigen von U' liegt, dann muss das Objekt O, das sowohl in U als auch U' ist, E besitzen, sodass E zur Obereigenschaftsmenge von U' gehört. Das aber hieße, dass jedes Objekt, das die Eigenschaft E besitzt, unter anderem auch sämtliche Objekte aus U, in U' liegen müssten; im Widerspruch zur Annahme.

Schließlich führen wir als letzten Begriff denjenigen der Domäne ein. Wir nennen eine Menge von Objekten eine Domäne, wenn sie ein Universum ist und zugleich die Maximaleigenschaft erfüllt, keine echte Teilmenge eines anderen Universums zu sein. Die Domäne ist somit gewissermaßen das Gegenstück zum echten Universum, welches kein anderes Universum als echte Teilmenge enthalten darf. Es wird sich unten ergeben, dass natürliche Klassen – im Gegensatz zu assoziativen – stets in einem Universum enthalten sein müssen; sodass natürliche Klassen, Universen und Domänen eine Hierarchie bilden, in welcher jede natürliche Klasse in einem Universum, jedes Universum aber in einer Domäne liegt.

Nachdem wir nun einige abstrakte mengentheoretische Überlegungen zu den Eigenschaften und Objekten angestellt und in diesem Rahmen Begriffe eingeführt haben, die es erlauben, Strukturen des geistig Seienden zu erfassen, kommen wir an diesem Punkte nicht umhin, die Eigenschaften in weniger abstrakter Weise zu betrachten und zu untersuchen, wie sie konkret beschaffen seien und in welcher Gestalt sie sich im Denken ausformen; denn der reine mengentheoretische Zugang allein erlaubt nur sehr geringen Erkenntnisgewinn über die Objekte und Eigenschaften. Sehen wir uns zunächst einige Beispiele dafür an, was Eigenschaften sind. Man könnte hier etwa anführen: rechtwinklig, grün, ein physischer Gegenstand, durch drei teilbar, dreieckig, schwer, klein, aus vier Buchstaben bestehend, inkonsistent, konsistent, eine abstrakte Idee, notwendig, in Moll, klug, freundlich, konvergent, zwei Meter breit oder eigentümlich zu sein. Die von der natürlichen Sprache primär zur Bezeichnung von Eigenschaften vorgesehene Wortart ist zweifellos das Adjektiv, welches wir in der vorangehenden Aufzählung auch hauptsächlich verwendet haben; doch lassen sich bei Weitem nicht alle denkbaren Eigenschaften durch Adjektive allein ausdrücken – was ja auch von vornherein die ausdrückbaren Eigenschaften auf eine endliche Zahl beschränken würde –, sodass häufig stattdessen Verbalkonstruktionen zu diesem Zwecke dienen müssen. Oft ist auch die Genauigkeit des Ausdrucks, die sich mit einem einzelnen Adjektiv erreichen lässt, eher gering, sodass wir zur Präzisierung solcher Adjektive ebenfalls auf Verbalkonstruktionen zurückgreifen müssen.

Eigenschaften, wie etwa die eben angeführten, sind grundsätzlich und immer, unabhängig von ihrer Darstellung in der natürlichen Sprache, ursprüngliche Schöpfungen des Denkens, welche es in der ihm eigentümlichen Weise anschauend begreifen können muss; wodurch beschränkt wird, was wir als Eigenschaft ansehen können, da es immer dieses Rückbezugs auf das Denken bedarf; weshalb auch die schon mehrfach erwähnte Tatsache, dass selbst das ideale Denken dasjenige eines nur potentiell und nicht aktual unendlichen Verstandes ist, nicht geringe Wirkung entfaltet. Obgleich wir unten sehen werden, dass sich zwar durchaus viele Eigenschaften als aus anderen zusammengesetzt ansehen lassen, ergibt sich aus dieser notwendigen Verankerung einer Eigenschaft im Denken, dass Eigenschaften nicht in beliebiger, gleichsam automatischer Weise zu neuen Eigenschaften zusammengestellt werden können, wodurch unter anderem das Cantorsche Mengenparadoxon, welches wir bereits oben erwähnt hatten, vermieden wird. Aber auch aus Ungenauigkeiten der natürlichen Sprache erwachsende Paradoxien, etwa das Berrysche Paradoxon, können nur auftreten, wenn diese Notwendigkeit, einen durch einen bloßen sprachlichen Ausdruck gegebenen Begriff im anschauenden Denken zu verankern, ignoriert wird.

Betrachten wir nun etwas genauer einige der angeführten Eigenschaften; nehmen wir etwa diejenige, dreieckig zu sein. Diese legt der Verstand sehr unterschiedlichen Objekten bei: Dreieckig kann ein physischer Gegenstand sein; eine gezeichnete Figur; oder ein Objekt der Geometrie. Ebenso kann die Eigenschaft, grün zu sein, sowohl physischen Gegenständen als auch mental vorgestellten zukommen, obwohl diese anderen Wesens sind als jene. Schließlich kann die Eigenschaft, eigentümlich zu sein, von so unterschiedlichen Objekten besessen werden wie einer Handlung in einer bestimmten Situation; einer Person; einer Erzählung; oder einer Abfolge von Geschehnissen. Es steckt dabei, wenn wir diese Verhältnisse anführen, keinesfalls ein bloßes Spiel mit der Mehrdeutigkeit der natürlichen Sprache dahinter, welches in unlauterer Weise und fälschlich, unter Verwendung der doppelten Bedeutung eines Wortes, die Zugehörigkeit einer Eigenschaft zu sehr verschiedenen Objekten herleitete. Stattdessen entspringen diese unmittelbar dem anschauenden Denken. Es ist sogar ein ureigenes Charakteristikum des denkenden Verstandes, Objekte aus gänzlich unterschiedlichen Sphären dieselben Eigenschaften beizulegen; was sich aus der Tatsache beweist, dass sich der im ersten Teil dieser Schrift beschriebene Vorgang der Assoziation, vermittelst derer der Verstand von einem Objekt zum anderen springt, nicht selten eben solche Objekte aus unterschiedlichen Sphären verknüpft, welches bedeutet, dass sie Eigenschaften gemeinsam haben müssen. Allerdings haftet derartigen Eigenschaften etwas seltsam Unbestimmtes und Unkonkretes an; was es etwa tatsächlich und ganz und gar konkret bedeutet, dreieckig zu sein, kommt dann doch auf die jeweilige Sphäre von Objekten an, in welcher diese Eigenschaft beigelegt wird. Diese Unkonkretheit bringt es auch mit sich, dass diese Eigenschaften alleine keine Objekte bilden können; es gibt kein Objekt, nicht einmal ein unbestimmtes, das ausschließlich dadurch definiert ist, in unspezifischer Weise dreieckig zu sein. Eigenschaften dieses Typs sind darum nichts anderes als die oben mengentheoretisch eingeführten ungebundenen Eigenschaften. Was aber sind dann die gebundenen? Es handelt sich bei diesen um Eigenschaften, die dadurch konkret und spezifisch werden, dass sie in einen bestimmten Zusammenhang, eine bestimmte Sphäre des Denkens gestellt und darin allein denkbar sind. Dieser Zusammenhang muss den Wesensgehalt einer Eigenschaft ganz und gar präzise festlegen, damit sie gebunden ist. So reicht es etwa noch nicht einmal aus, die Eigenschaft, dreieckig zu sein, in den Zusammenhang der abstrakten Geometrie zu stellen, um sie gebunden zu machen; denn in den verschiedenen Arten von Geometrien, etwa der euklidischen, hyperbolischen oder elliptischen, dreieckig zu sein ist jeweils etwas anderes, da in ihnen unterschiedliche Grundvoraussetzungen und Regeln gelten. Im Rahmen der Euklidischen Geometrie (wobei dieser Ausdruck ein ganzes Konglomerat solcher Grundvoraussetzungen abkürzend wiedergibt) dreieckig, das ist ein euklidisches Dreieck zu sein, ist dann erst eine gebundene Eigenschaft.

Die Eigenschaften, die einen derartigen fundamentalen Zusammenhang ausdrücken, eine derartige Sphäre des geistig Seienden definieren, entspringen dem Denken des Verstandes in einer Art creatio ex nihilo, welcher sie in keiner Weise aus anderen Eigenschaften ableiten oder darauf zurückführen kann. Obgleich jede Eigenschaft letztlich eine ureigene Schöpfung des Verstandes ist, ist dieser Schöpfungsvorgang im Falle einer gewöhnlichen Eigenschaft mit demjenigen, der für die in Rede stehenden Eigenschaften von Nöten ist, gänzlich unvergleichbar: Denn in diesen erschafft er gleichsam eine ganze Welt, während er in jenen nur die Einzelheit einer Welt erschafft. Im Folgenden wollen wir die besagten, eine Sphäre des Denkens definierenden Eigenschaften auch Ureigenschaften nennen.

Wie schon aus unserer Wortwahl erhellen mag, sind die Klassen, die von Ureigenschaften gebildet werden, das ist von einer (nicht notwendigerweise maximalen) ausschließlich aus solchen Eigenschaften bestehenden Eigenschaftsmenge erzeugt werden, nichts anderes als die oben mengentheoretisch eingeführten Universen; und die Sphären des Denkens selbst stellen genau die echten Universen dar. Denn eine gebundene, das ist in einen konkreten Zusammenhang des Denkens eingebundene Eigenschaft impliziert offensichtlich notwendig die diesen Zusammenhang erst definierenden, ja gleichsam hervorbringenden Eigenschaften; sodass sämtliche Eigenschaften in der Obereigenschaftsmenge einer ausschließlich von Ureigenschaften erzeugten Klasse diese allesamt notwendig implizieren. Befinden sich die Objekte der Klasse in nur einer Sphäre des Denkens, so ist das offensichtlich; wenn diese aber verschiedenen Sphären des Denkens angehören sollten, weil die die Klasse erzeugenden Ureigenschaften allein es noch nicht vermögen, eine solche zu definieren und durch weitere ergänzt werden müssen, so implizieren die gewöhnlichen gebundenen Eigenschaften in der Obereigenschaftsmenge die erzeugenden Ureigenschaften, weil sie alle Ureigenschaften implizieren, welche die jeweilige Sphäre des Denkens definieren, der sie entstammen, zu welchen jene aber aufgrund der Klasseneigenschaft auch gehören müssen; für die Ureigenschaften in der Obereigenschaftsmenge, welche diejenigen aus der erzeugenden Eigenschaftsmenge ergänzen müssen, gilt aber ebenso, dass sie diese notwendig implizieren; denn da sie die Funktion haben, Ureigenschaften aus der erzeugenden Eigenschaftsmenge derart zu ergänzen, dass ein eigentlicher Denkzusammenhang entsteht, das von diesen aufgespannte Gebiet auf eine wohldefinierte Sphäre des Denkens einzugrenzen, sind sie von ihnen abhängig und können nicht außerhalb von deren Wirkungskreis bestehen; sodass es selbst unter den Ureigenschaften noch eine Hierarchie gibt. Damit ist dann aber die Bedingung, die wir oben an ein Universum gestellt hatten, gerade erfüllt; denn dass die Ureigenschaften aus der erzeugenden Eigenschaftsmenge und die von ihnen notwendig implizierten Eigenschaften ein Objekt bilden und die Klasse somit natürlich ist, versteht sich eigentlich von selbst. Ein echtes Universum, das ist ein solches, das keine Universen mehr als echte Teilmengen enthält, entspricht dann genau einer einzelnen Sphäre des Denkens, da es in seiner Obereigenschaftsmenge keine Ureigenschaften mehr enthält, die ein eigenständiges Unteruniversum darin definierten, vielmehr die Ureigenschaften in seiner Untereigenschaftsmenge vollständig ausreichen, um eine Sphäre des Denkens zu definieren.

Erläutern wir diese Verhältnisse anhand des oben angeführten Beispiels der Euklidischen Geometrie. Diese stellt ein echtes Universum, das ist eine abgeschlossene Sphäre des Denkens dar, da die Eigenschaft, ein Gegenstand der Euklidischen Geometrie zu sein, welche eine Reihe anderer Eigenschaften notwendig impliziert, gemeinsam mit diesen einen wohldefinierten Rahmen zur Verfügung stellt, in welchem der Verstand gänzlich konkrete, das ist gebundene Eigenschaften denken kann, und welcher, wie wir unten sehen werden, präzise Regeln mit sich bringt, welche die Verhältnisse der gebundenen Eigenschaften genau bestimmen. Etwa impliziert die Eigenschaft, im Sinne der Euklidischen Geometrie einen stumpfen Winkel zu besitzen, schon die Ureigenschaft, ein euklidisches Objekt zu sein; und dasselbe gilt offensichtlich für jede im Rahmen der Euklidischen Geometrie auftretende gebundene Eigenschaft. Es tritt in diesem Zusammenhang auch deutlich zu Tage der Unterschied zwischen Universen und Klassen, die keine Universen sind. So ist etwa die Menge aller rechtwinkligen (euklidischen) Dreiecke eine natürliche Klasse, aber kein Universum; denn die wenigsten der Eigenschaften, die in dieser Klasse vorkommen, etwa eine Seite mit Seitenlänge eins zu besitzen, implizieren es schon, auch ein Dreieck und rechtwinklig zu sein. Eine Klasse, die kein Universum ist, ist in dieser Hinsicht gewissermaßen nicht abgeschlossen.

Das (echte) Universum der Euklidischen Geometrie ist selbst wieder Teilmenge eines anderen Universums, welches die Geometrie überhaupt darstellt; offensichtlich muss nämlich jede gebundene Eigenschaft eines geometrischen Objekts es schon implizieren, ein geometrisches Objekt zu sein. Die Geometrie aber selbst ist wiederum in das Universum der Mathematik eingebettet. Diese nun aber können wir uns nicht mehr in ein noch größeres Universum eingebunden vorstellen, sodass es sich bei der Mathematik um eine Domäne handelt. Domänen sind die größten Strukturen des geistig Seienden, die durch Zusammenfassung unter einer konkreten und spezifischen Eigenschaft entstehen; größer können allenfalls noch die rein assoziativen Klassen sein, die Objekte unter einer ungebundenen, das ist unkonkreten Eigenschaft zusammenfassen. So könnten die mathematischen Objekte zur (noch größeren) assoziativen Klasse der abstrakten Objekte gehören, oder es gehören, wie sich aus dem Obigen ergibt, die dreieckigen Objekte zu einer verschiedene Domänen überspannenden assoziativen Klasse, die auch einen kleinen Teil der mathematischen Domäne enthält.

Schließlich gibt uns das Beispiel der Euklidischen Geometrie noch die Gelegenheit, ein potentielles Missverständnis von der Hierarchie der Universen auszuräumen. Man könnte nämlich etwa meinen, dass eine verallgemeinerte Geometrie, die beispielsweise die Raumkrümmung als kontinuierlichen Parameter besitzt und dementsprechend euklidische, elliptische und hyperbolische Geometrie als Spezialfälle enthält, ein Universum darstelle, das denjenigen dieser spezielleren Geometrien übergeordnet ist und sie als Teilmengen enthält. So verhält es sich aber keineswegs, sondern die Universen der spezielleren Geometrien und der verallgemeinerten sind voneinander jeweils völlig disjunkt und von gleicher Ordnung in der Universenhierarchie; denn dass die Krümmung frei variieren kann, ist eine gänzlich andere Voraussetzung und grenzt eine eigene Sphäre des Denkens ab. Ein ähnliches Verhältnis zeigt sich häufig in den Strukturen des geistig Seienden. Ein anderes Beispiel wäre folgendes: Das Universum der Texte in deutscher und dasjenige der Texte in englischer Sprache sind keineswegs Teilmengen des Universums der Texte, in denen Deutsch und Englisch gemischt vorkommen können, sondern dieses ist zu den ersteren disjunkt.

Wenden wir nun das Augenmerk auf die ungebundenen Eigenschaften, nachdem bisher hauptsächlich die gebundenen im Zentrum des Interesses standen, und es anschließend auch wieder tun werden. Obgleich unsere Überlegungen von diesen ausgingen, da sie in gewisser Weise die intuitivere Art von Eigenschaften sind, für welche auch die natürliche Sprache, anders als im Falle der gebundenen, häufig ein einzelnes treffendes Wort bereithält, so stellen sie doch bei näherer Betrachtung den eigentlich bemerkenswerten, ja in ihrer Stellung im Gefüge des geistig Seienden geradezu unbegreiflichen Typ von Eigenschaften dar. Denn dass Objekten aus gänzlich inkongruenten Bereichen des Denkens vom Verstande dieselben Eigenschaften beigelegt werden, erscheint als zumindest überraschend, wenn nicht gar absonderlich, sofern man nur einmal einen unvoreingenommenen Blick auf das Verhältnis wirft. Die übliche Sichtweise nimmt die Objekte aus den verschiedenen Denksphären als gegeben an und postuliert, dass der Verstand vermittelst des Vorgangs der Abstraktion die Denksphären überspannende Charakteristika hervorbringe. Jedoch haftet diesem Verfahren des Abstrahierens, sobald man einmal die Existenz von unabhängigen Sphären des Denkens und in deren Zusammenhang stehenden Objekten akzeptiert, zweifellos etwas Rätselhaftes und Eigentümliches an. In der naiven Betrachtungsweise mag es zwar als das Natürlichste der Welt erscheinen, wenn etwa der Verstand aus den Objekten, die ein Ensemble zweier physischer Gegenstände, ein aus zwei Wörtern bestehender Satz oder ein aus zwei verschiedenen Tönen gebildetes musikalisches Motiv darstellen, die Eigenschaft die Zweiheit darzustellen abstrahiert; in welcher Sichtweise er diese dann wahlweise auch in der natürlichen Zahl zwei wiederfände oder aber letztere selbst Resultat und Verkörperung des Abstraktionsvorgangs wäre. Doch was genau ist Abstraktion? Dies bleibt letzten Endes unklar; die Unverständlichkeit und Undurchschaubarkeit dieses Verstandesvorgangs sowohl als auch die fehlende Nachvollziehbarkeit seines Ergebnisses werden schlicht durch Verwendung des Begriffs „Abstraktion“ zugedeckt. Es kommt hinzu, dass in unserer Sichtweise das Denken des idealen Verstandes zwar das geistig Seiende exakt abbildet, dass aber dieses dennoch gänzlich unabhängig von jenem ist; sodass die Objekte aus verschiedenen Denksphären, die der Verstand assoziiert, intrinsisch und a priori Denksphären überspannende, das ist ungebundene Eigenschaften gemeinsam haben müssen, und nicht etwa der Verstand nachträglich vermittelst der Abstraktion Ordnung in die Objekte bringt.

Die Existenz von ungebundenen Eigenschaften und ihre Verteilung über die Objekte der verschiedenen Denksphären müssen wir also letztlich als gegeben hinnehmen; der Verstand kann diese nur aufspüren. Insbesondere wird sich unten zeigen, dass der Erkenntnisgewinn des Verstandes durch das logische Schließen sich nur auf die gebundenen Eigenschaften erstreckt und innerhalb eines Universums stattfindet. Wie die ungebundenen Eigenschaften den Objekten der verschiedenen Universen zuzuordnen seien, das vermag er nicht ohne die Anschauung zu bestimmen. Allenfalls kann die Logik dabei indirekt zum Zuge kommen, wenn er anschauend erkennt, dass gewisse gebundene Eigenschaften eine ungebundene implizieren, das Wissen, dass erstere einem Objekt zukommen, aber vermittelst eines logischen Schlusses gewinnt. Gewissermaßen stellen auch die ungebundenen Eigenschaften die einzige Verbindung zwischen verschiedenen Domänen dar, und abgesehen von den Elementen der gemeinsamen Untereigenschaftsmenge gilt dies auch für disjunkte Universen innerhalb einer Domäne. Neben der Notwendigkeit der Verankerung, das ist Abbildbarkeit alles geistig Seienden im Denken sind diese in den ungebundenen Eigenschaften bestehenden Verbindungen zwischen den Universen ein Grund, warum eine Sichtweise, in der jede beliebige mengentheoretische Struktur in den Objekten und Eigenschaften je eines Universums verwirklicht wäre, verfehlt ist.

Aus dem Gesagten ergibt sich schließlich, dass die gebundenen Eigenschaften eines Objekts seine ungebundenen notwendig implizieren, wie wir schon oben vorweggenommen hatten. Denn die durch die Einbindung in den Denkzusammenhang eines Universums konkreten Eigenschaften legen ein Objekt schon allein eindeutig fest; somit müssen dann die ungebundenen Eigenschaften, die der Verstand vermittelst der Anschauung diesem zuspricht, von jenen impliziert sein.

Wir haben bereits angedeutet, dass die Weise, in welcher der Verstand Eigenschaften denkt, nicht immer, ja sogar in der Mehrheit der Fälle nicht elementar ist, sondern er sie gewissermaßen als zusammengesetzt aus anderen vorstellt; dieses Phänomen wollen wir nun einer genaueren Untersuchung unterziehen. Dabei ist zu betonen, dass wir von einer solchen Zusammensetzung nur auf der Ebene des Denkens sprechen können; auf derjenigen des geistig Seienden bleiben die Eigenschaften unitäre Entitäten. Eine Art, in der Eigenschaften als aus anderen zusammengefügt erscheinen, haben wir bereits kennengelernt: Oft lassen sich gebundene Eigenschaften als eine Vereinigung einer ungebundenen und einer Ureigenschaft betrachten, wobei diese jene konkret macht, indem sie sie in einen Denkzusammenhang einbindet. Doch ist dies gewissermaßen ein Sonderfall eines viel allgemeineren Verhältnisses. Wir wollen eine bestimmte Weise der Eigenschaftsverbindung eine Relation nennen. Eine Relation kann man sich als eine ein- oder mehrstellige Abbildung von den Eigenschaften in die Eigenschaften vorstellen. In einer anderen Hinsicht lassen sie sich als grundlegende, unmittelbar dem Denken entspringende Schemata betrachten, nach denen der Verstand Eigenschaften bildet. Neben Relationen, die eine feste Anzahl an Argumenten besitzen, das ist eine Abbildung auf den Eigenschaften mit einer festen Anzahl an Stellen bilden, gibt es auch Relationen mit einer variablen Anzahl an Argumenten, die allerdings stets endlich sein muss. Meistens ist das dann nötig, wenn in einer informellen Sichtweise, welche zwar anschaulich, aber letztlich unrichtig ist, die Relation eine Eigenschaft bildet, die als Beziehung zu einem Objekt betrachtet werden kann. Unrichtig ist diese Sichtweise deshalb, weil sie die Ebene der Eigenschaften und Objekte vermischt, die aber streng getrennt gehalten werden müssen; Eigenschaften lassen sich nur aus anderen Eigenschaften und nicht aus Objekten zusammensetzen. Jedoch als Ersatz kann eine Eigenschaft aus Eigenschaften zusammengesetzt werden, die ein Objekt beschreiben; in welchem Falle deren Anzahl häufig variabel sein kann, da Objekte von einer bestimmten Art sich nicht immer mit einer festen Anzahl von Eigenschaften beschreiben lassen; sodass eine entsprechende Relation eine variable Anzahl an Argumenten besitzen muss.

Betrachten wir einige anschauliche Beispiele. Die Eigenschaft einer Zahl, in ihrer Dezimaldarstellung an einer bestimmten Stelle eine bestimmte Ziffer aufzuweisen, lässt sich als vom Verstande vermittelst einer Relation gedacht auffassen: Die beiden Argumente dieser Relation sind einerseits eine Eigenschaft, welche die Stelle in der Dezimalentwicklung beschreibt, und andererseits eine Eigenschaft, welche die Ziffer bezeichnet. Die Eigenschaft einer Erzählung, dass darin ein bestimmtes Ereignis stattfindet, kann man als vermittelst einer Relation mit variabler Argumentenzahl gebildet ansehen, welche das Ereignis, das durch ihre Argumente beschrieben wird, in den Zusammenhang der Erzählung einbindet. Besonders anschaulich wird die Notwendigkeit einer variablen Argumentenzahl einer Relation an der Eigenschaft eines Satzes, die gleiche Bedeutung wie ein Satz in einer anderen Sprache zu haben; diese kann als vermittelst einer Relation gebildet betrachtet werden, die als erstes Argument die Eigenschaft besitzt, die das erste Wort des Satzes in der anderen Sprache bezeichnet, als zweites die das zweite Wort bezeichnende und so fort; welche aufgrund der variablen Länge von Sätzen auch eine variable Anzahl an Argumenten haben muss. Weitere, ähnliche Beispiele für vermittelst Relationen gebildete Eigenschaften sind: die Eigenschaft eines Bildes, an einer bestimmten Stelle blau zu sein; diejenige eines physischen Gegenstandes, aus bestimmten anderen Gegenständen zusammengefügt zu sein; und diejenige einer natürlichen Zahl, größer als fünf zu sein.

Anhand dieser Beispiele lassen sich einige Grundtypen von Relationen herauskristallisieren; wiewohl eine solche Einteilung keinen allzu fundamentalen Charakter besitzt, indem der Übergang zwischen den Typen einerseits eher fließend ist und sich andererseits auch nicht alle Relationen einem Typen zuordnen lassen. Relationen können erstens eine Spezifizierung darstellen, indem das eine Argument die Hinsicht bestimmt, in welcher das andere Argument etwas beschreibt. Der zweite Typ besteht in einer Zusammenfügung im eigentlichen Sinne, das ist vermittelst einer solchen Relation entsteht eine Eigenschaft, die ausdrückt, dass ein Objekt in wie auch immer gearteter Weise zusammengesetzt ist aus anderen Objekten. Der dritte Typ wiederum gibt ein Verhältnis wieder, das ist die gebildete Eigenschaft weist gewissermaßen über das sie besitzende Objekt hinaus auf eine Eigenschaft oder ein durch eine Menge von Eigenschaften beschriebenes Objekt, mit denen es weit weniger eng verknüpft ist als bei den beiden zuvor genannten Typen von Relationen. Abgesehen von diesen gewissermaßen gewöhnlichen Arten von Relationen können wir noch zwei in ihrer Funktion spezielle Typen ausmachen. Einerseits gibt es, wie wir bereits erwähnt hatten, eine Art von Relationen, die ungebundene zu gebundenen Eigenschaften machen, indem sie sie in eine Sphäre des Denkens einbinden; in gewisser Hinsicht ließen sie sich auch als Unterart der spezifizierenden Relationen ansehen, doch hat eine solche Einordnung gegen sich ihren so besonderen Charakter, leisten sie doch nicht nur eine gewöhnliche Spezifizierung einer Eigenschaft, sondern geben ihr überhaupt erst eine konkrete Bedeutung im Rahmen eines Denkzusammenhangs. Die andere spezielle Art von Relationen ist das genaue Gegenstück zur ersten Art: Denn es gibt auch Relationen, die von einer gebundenen Eigenschaft alles Spezifische und Konkrete entfernen und sie zu einer ungebundenen Eigenschaft machen. Diese wirken häufig mit dem ihnen entgegengesetzten Typ zusammen, wenn der Verstand gleichsam den Inhalt eines Universums in ein anderes einbettet; so wenn beispielsweise eine arithmetische Rechnung in einer Erzählung vorkommt: die eine Relation macht zunächst aus den im Universum der Arithmetik vorkommenden gebundenen Eigenschaften ungebundene, die dann von einer anderen, in der Wirkung umgekehrten Relation in das Universum der Erzählung eingebunden und wieder konkret gemacht werden.

Relationen lassen sich stets einem Universum zuordnen und ihr Definitions- und Bildbereich liegen ganz in der Universaleigenschaftsmenge dieses Universums; die Relationen vom gewöhnlichen Typ können sogar nur gebundene Eigenschaften auf gebundene Eigenschaften abbilden. Denn das Denken braucht für den Vorgang der Zusammensetzung von Eigenschaften als sichere Stütze die Konkretheit, die ein Universum bietet; was soweit geht, dass es dieser Konkretheit, zumindest bei der gewöhnlichen Art der Zusammensetzung, selbst in den zusammenzusetzenden und der zusammengesetzten Eigenschaft bedarf. Allenfalls kann es, in Form der Relationen der beiden speziellen Typen, von seinem Standpunkt innerhalb des Denkzusammenhangs eines Universums aus, diese Konkretheit einer unkonkreten Eigenschaft beilegen oder aber einer konkreten entziehen; nicht aber unkonkrete, das ist ungebundene Eigenschaften zu unkonkreten zusammensetzen, da dafür deren Wesen zu flüchtig ist. Einer derartigen echten Zusammensetzung ungebundener Eigenschaften kommt am nächsten noch eine ungebundene Eigenschaft, die aus einer gebundenen gebildet ist, welche aus gebunden gemachten ungebundenen Eigenschaften zusammengesetzt ist.

Es ist grundsätzlich möglich, dass das Argument einer Relation selbst eine auf dem Wege einer Relation gebildete Eigenschaft ist. Diese Verschachtelung wird später eine wichtige Rolle in einem Eigenschaftskalkül spielen, welcher die Grundlage des logischen Schließens bildet. Da die bisher betrachteten Relationen, welche man als eigentliche oder reelle bezeichnen kann, eine Eigenschaft ausgeben, haben sie eine doppelte Rolle, sofern sie als Argument einer anderen Relation fungieren; sie dienen einerseits dazu, eine eigentliche Eigenschaft, die Objekten zukommen kann, zu bilden, und andererseits dazu, die Eingabe für eine andere Relation zur Verfügung zu stellen. In manchen Universen gibt es jedoch auch virtuelle Relationen: Diese haben keine Eigenschaft als Ausgabe, sondern können einzig und allein Argument einer anderen Relation sein. Solche virtuellen Relationen können im Gegensatz zu den reellen auch nullstellig sein, das ist schlicht eine konstante Eingabe für andere Relationen darstellen; in welchem Falle man sie auch als virtuelle Eigenschaften bezeichnen könnte, wiewohl man mit einer solchen Terminologie sehr vorsichtig sein muss, da diese virtuellen Eigenschaften nichts mit den Eigenschaften im eigentlichen Sinne zu tun haben, indem sie niemals Objekten zukommen können. Ein Beispiel wäre das Universum, das nur aus den Wörtern und Sätzen einer bestimmten Sprache besteht. Es gibt darin die einem Satz zukommende Eigenschaft, an einer bestimmten Stelle ein bestimmtes Wort aufzuweisen, welche vermittelst einer zweistelligen Relation gebildet ist. Als zweites Argument hat sie eine ganz gewöhnliche Eigenschaft, ein bestimmtes Wort zu sein. Keinem Objekt dieses Universums aber kommt die Eigenschaft zu, eine bestimmte Stelle zu haben, sodass das erste Argument durch eine virtuelle Relation zur Verfügung gestellt werden muss; in diesem Falle reicht es aus, wenn in dem Universum eine nullstellige virtuelle Relation, die angibt, an erster Stelle zu stehen, und eine einstellige, die die folgende Stelle bildet, vorhanden sind. Virtuelle Relationen können von einem der gewöhnlichen Typen sein; sie können sogar von dem speziellen Typ sein, der eine ungebundene Eigenschaft in ein Universum einbindet, in welchem Falle sie diese schlicht als Baustein für Relationen in diesem Universum zur Verfügung stellen; sie können aber nicht vom dazu entgegengesetzten speziellen Typ sein, da ungebundene Eigenschaften immer eine eigentliche, ein konkretes Universum übersteigende Existenz besitzen.

Aus den oben angeführten Beispielen für Relationen erhellt, dass fast nie gänzlich beliebige Eigenschaften als Argumente einer Relation eingesetzt werden können, das ist dass ihr Definitionsbereich, wenn man sie als Abbildungen auffasst, in der Regel nicht alle Eigenschaften eines Universums umfasst. Stattdessen besitzt eine Relation eine für sie charakteristische Signatur, welche für jedes ihrer Argument festlegt, welche Art von Eigenschaften dafür eingesetzt werden kann; und für Relationen mit variabler Argumentenzahl darüber hinaus, welche Abfolge von Eigenschaften als Argumenten möglich ist. Die Art einer Eigenschaft kann dadurch charakterisiert sein, dass sie einer bestimmten Menge von Elementareigenschaften zugehört, oder vermittelst einer Relation aus einer bestimmten Menge von Relationen gebildet ist, oder gar dadurch, dass sie eine bestimmte Struktur aufweist, das ist sie nicht nur vermittelst einer gewissen Relation gebildet ist, sondern auch deren Argumente bestimmte Elementareigenschaften oder mit bestimmten Relationen gebildet sind und so fort bis zu einem beliebigen Punkte. Die möglichen Abfolgen von Argumenten bei einer Relation mit variabler Argumentzahl können hingegen anhand einer induktiven Regel eingeschränkt sein. Erfüllen gewisse Eigenschaften nicht die Signatur einer Relation, so kann der Verstand keine Eigenschaft denken, die sich als vermittelst der Relation aus diesen Eigenschaften zusammengesetzt betrachten lässt.

Schließlich sei noch bemerkt, dass das Charakteristikum einer Eigenschaft, elementar oder zusammengesetzt zu sein, als durch und durch abhängig davon betrachtet werden muss, wie sie im Denken auftritt. Auf der Ebene des geistig Seienden sind zwei Eigenschaften gleich, wenn sie von denselben Objekten besessen werden. Gemäß dieser Definition kann ein und dieselbe Eigenschaft bald elementar, bald zusammengesetzt gedacht werden; ja verschiedene Eigenschaften können in dieser Hinsicht sogar die Rollen tauschen. Etwa ist die Eigenschaft, um eins größer als vier zu sein, aus der Eigenschaft, vier zu sein, abgeleitet, welche hier als elementar auftritt; umgekehrt kann aber diese auch als abgeleitet auftreten, indem sie als die Eigenschaft gedacht wird, um eins kleiner als fünf zu sein, wobei nun die erstgenannte Eigenschaft als elementar gedacht ist. Die Ähnlichkeit zu den homoonten, aber heterophrenen Objekten drängt sich auf; doch dürfen wir die Verhältnisse bei Eigenschaften und Objekten nicht exakt gleichsetzen, da bedeutende Unterschiede darin bestehen, wie der Verstand beide jeweils vorstellt.

Bisher haben wir in unserer Untersuchung zwar schon mehrmals die Perspektive des Denkens gegenüber derjenigen des geistigen Seins eingenommen, aber Betrachtungen über Strukturen der Objektallmenge und Mengen von Objekten überhaupt haben wir fast immer in rein ontologisch-abstrakter Weise angestellt, ohne die Sichtweise des Denkens zu berücksichtigen; einzig die Unterscheidung zwischen Homoousie und Homophrenie, die bei der Betrachtung der Objektvergleichung auftrat, war ein Hinweis darauf, dass zwischen diesen Ebenen manches auseinanderfallen könnte. Von den dabei schon angestellten Überlegungen ausgehend sei nun die Struktur des geistig Seienden überhaupt, wie sie sich aus dem Blickwinkel des Denkens darstellt, einer genaueren Untersuchung unterzogen.

Das Denken steht zunächst einer unermesslichen, unendlich großen Gesamtheit von geistig seienden Objekten gegenüber, die es unmöglich gänzlich erfassen kann, ist es doch seiner Natur nach, selbst in seiner idealen Form, grundsätzlich endlich; ja schon ein einzelnes Objekt aus dieser Unermesslichkeit besitzt in der Regel unendlich viele Eigenschaften. Was das Denken vorstellen kann, sind, wie aus den bisherigen Ausführungen wohl zu Genüge erhellt, zweifellos einzelne Eigenschaften und endliche Mengen von Eigenschaften; im Falle eines idealen Denkens, welches wir meist implizit voraussetzen, können diese Eigenschaften in beliebig komplexer Weise zusammengesetzt sein und die endlichen Mengen von Eigenschaften beliebig groß sein. Eine endliche Eigenschaftsmenge denken zu können, genügt aber schon, um die Objektallmenge gleichsam zu befragen. Der Verstand definiert ein Objekt aus dieser, indem er anhand einer Menge von gebundenen Eigenschaften aus der Objektallmenge Objekte aussondert, und zwar genau jene, die alle diese Eigenschaften besitzen; ist dies nur genau eines, so hat er dieses, welches ein bestimmtes Objekt ist, definiert; sind es aber mehrere, so hat er das unbestimmte Objekt definiert, welches nur diejenigen Eigenschaften besitzt, die alle ausgesonderten Objekte gemeinsam haben. Wenn es aber kein einziges Objekt in der Objektallmenge gibt, welches die Eigenschaften besitzt, anhand derer der Verstand ein Objekt auszusondern sucht: So können wir, in einer gewissermaßen paradoxalen Ausdrucksweise, davon sprechen, dass er ein undenkbares Objekt zu denken vergeblich sich anschickt. Da der Verstand nur anhand gebundener Eigenschaften Definitionen anstellt, diese aber schon, anders als die ungebundenen, alleine Objekte zu bilden vermögen, ist die einzige Weise, in welcher eine solche Undenkbarkeit zustande kommen kann, dass die definierenden Eigenschaften zwar jeweils einzeln in Objekten vorkommen können, und womöglich auch echte Teilmengen der Menge an definierenden Eigenschaften gemeinsam, aber deren Gesamtheit nicht.

Bisher hatten wir den Begriff, dass eine Eigenschaftsmenge eine Eigenschaft notwendig impliziert, nur in abstrakt-ontologischer Weise verstanden in dem Sinne, dass jedes Objekt, das jene besitzt, auch diese besitzt; analog kann man davon sprechen, dass eine Eigenschaftsmenge eine Eigenschaft antiimpliziert, wenn jedes Objekt, das jene besitzt, diese nicht besitzt. Es lässt sich aussagen: Eine Eigenschaftsmenge definiert genau dann ein undenkbares Objekt, wenn es eine Eigenschaft gibt, welche sie sowohl impliziert als auch antiimpliziert. Sofern man voraussetzt, dass ein Objekt eine beliebige Eigenschaft entweder besitzt oder nicht besitzt, ist die Aussage, in diesem Verständnis der Implikation, jedoch gewissermaßen trivial. Wenn wir deren Begriff allerdings auf die Ebene des Denkens übertragen, indem wir sagen, dass in dessen Sinne eine Eigenschaftsmenge eine Eigenschaft impliziert oder antiimpliziert, wenn das Denken, entweder durch Anschauung oder durch logischen Schluss, zu der Ansicht gelangt, ein Objekt, das jene besitzt, müsse auch diese besitzen beziehungsweise nicht besitzen: So wird die Aussage, in diesem Sinne verstanden, ungleich gehaltvoller. Denn diese verknüpft nun die Undenkbarkeit eines Objektes mit dem Widerspruch, auf welchen der Verstand bei der Entwicklung der Eigenschaften dieses Objektes stößt. Sie entspricht in dieser Form dem in der Metaphysik als apriorisches Axiom postulierten Fundamentalsatz des Seins: Es kann nichts mit einer Eigenschaft gedacht werden, die es nicht besitzt. In dieser scheinbaren Tautologie kann etwas „mit einer Eigenschaft“ als ein von einer Eigenschaftsmenge definiertes Objekt verstanden werden, welche jene Eigenschaft im Sinne des Denkens impliziert; und entsprechend eine Eigenschaft, „die es nicht besitzt“, als eine von dieser Eigenschaftsmenge antiimplizierte Eigenschaft. Allerdings lässt sich der Fundamentalsatz des Seins auch als ein ontologischer verstehen, demzufolge ein Objekt eine beliebige Eigenschaft entweder besitzt oder nicht besitzt, das ist es sich um ein wohldefiniertes Prädikat für ein Objekt handelt, eine Eigenschaft zu besitzen.

Die Erkenntnis des geistig Seienden durch den Verstand stellt sich nun wie folgt dar: Dieser gibt sich eine Menge von gebundenen Eigenschaften vor; dann entscheidet er, ob diese überhaupt ein denkbares Objekt definieren, und falls dem so ist, ob es bestimmt oder unbestimmt sei; womit er ein Wissen über die Struktur des Geistigen erlangt hat. Die Menge an gebundenen Eigenschaften kann der Verstand dabei mit einer Einschränkung gänzlich beliebig zusammenstellen. Diese Einschränkung besteht darin, dass die Eigenschaftsmenge in einem Sinne, den wir erst weiter unten, wenn wir gewisse Begriffe und Werkzeuge zur Verfügung haben, präzise werden fassen können, explizit sein muss. An dieser Stelle sei nur ein Beispiel für eine nicht explizite Definition gegeben: das Objekt, das eine gerade natürliche Zahl und nicht als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist. Um zu überprüfen, ob es sich hierbei um ein selbstwidersprüchliches, das ist undenkbares Objekt handelt, oder es mehrere solche geraden Zahlen gibt und somit ein unbestimmtes Objekt definiert worden ist, oder nur eine einzige und somit ein bestimmtes, müsste der Verstand unendlich viele Fälle, nämlich alle gerade Zahlen überprüfen, wozu er nicht in der Lage ist.

Sofern er ein denkbares und bestimmtes Objekt definiert hat, kann der Verstand darüber hinaus zu Erkenntnis über das Geistige in der Weise gelangen, dass er sich eine beliebige weitere Eigenschaft vorgibt, welche nun auch ungebunden sein kann, und entscheidet, ob das zuvor definierte Objekt diese besitze oder nicht. Ist das Objekt hingegen unbestimmt, so kann er zu diesem Wissen nur gelangen, wenn es keine Erkenntnis darstellt, die ihrem Charakter nach eine Quantifizierung über unendlich viele Objekte darstellen würde, welchen Begriff wir ebenfalls erst unten werden präzisieren können. Ein Beispiel für eine solche unerlaubte Abfrage wäre diejenige, ob eine gerade natürliche Zahl (was, wie sich feststellen lässt, ein unbestimmtes Objekt ist), die Eigenschaft besitzt, als Summe zweier Primzahlen darstellbar zu sein.

Dass die definierenden Eigenschaften dabei allesamt gebunden sein müssen, während die derart abgefragte Eigenschaft auch ungebunden sein kann, liegt darin begründet, dass der unspezifische Charakter der ungebundenen Eigenschaften diese für den gerade die höchste Spezifität verlangenden Vorgang der Definition ungeeignet macht; wohingegen der Verstand einem einmal definierten Objekt vermittelst der Anschauung auch ungebundene Eigenschaften zusprechen kann, wie oben schon erwähnt wurde.

Auch sei bemerkt, dass die Fähigkeit des Verstandes, zu entscheiden, ob ein definiertes Objekt eine Eigenschaft besitze oder nicht, nur dann eine echte Erweiterung seines Erkenntnisvermögens gegenüber dem bloßen Urteil über die Denkbarkeit eines Objektes darstellt, wenn das definierte Objekt unbestimmt oder die abgefragte Eigenschaft ungebunden ist; denn ob ein durch die Eigenschaftsmenge M definiertes bestimmtes Objekt die gebundene Eigenschaft E besitze, lässt sich darauf zurückführen, ob das durch M und E definierte Objekt denkbar ist oder nicht. Dieser teilweisen Redundanz ungeachtet handelt es sich um einen dem Verstande durch und durch eigentümlichen Denkvorgang, wenn er darüber urteilt, ob ein von ihm festgelegtes Objekt eine vorgegebene Eigenschaft besitze oder nicht. So ist es etwa für den realen Verstand natürlicher, zu entscheiden, ob das als Grenzwert der Reihe der inversen Fakultäten definierte Objekt an der dritten Nachkommastelle eine Acht aufweise, als ob das Objekt, welches durch die Eigenschaften, besagten Grenzwert darzustellen sowie ein Acht als dritte Nachkommastelle zu haben, denkbar sei.

Unter Anwendung dieses Erkenntnismittels kann der Verstand unter anderem überprüfen, ob zwei Objekte A und B, die er vermittelst eines jeweils verschiedenen Satzes von Eigenschaften definiert und für denkbar befunden hat, identisch, das ist gemäß der oben eingeführten Terminologie trotz ihrer Heterophrenie homoont seien (zumindest wenn gemäß den oben gegebenen Einschränkungen die definierenden Eigenschaftsmengen explizit sind und bestimmte Objekte definieren, oder unbestimmte und sich die Eigenschaften der anderen abfragen lassen). Dies ist nämlich genau dann der Fall, wenn A jede Eigenschaft aus der B definierenden Eigenschaftsmenge besitzt und umgekehrt; da dies jeweils endlich viele sind, kann der Verstand in endlich vielen Schritten entscheiden, ob A und B identisch seien.

Die Fähigkeiten des Verstandes, erstens ein definiertes Objekt auf seine Denkbarkeit und Bestimmtheit zu überprüfen und zweitens für eine vorgegebene Eigenschaft zu entscheiden, ob es sie besitze (sowie diese beiden Operationen beliebig, aber endlich oft durchzuführen und die Ergebnisse zusammenzuführen), stellen – gemeinsam mit einer leicht verallgemeinerten Form derselben, die in Kürze behandelt werden wird – seine gesamte Möglichkeit zur Erkenntnis von Geistigem überhaupt dar. Es ist ihm gleichsam nur gestattet, sich mit den beiden besagten Fragen an das Orakel zu wenden, welches sein eigenes Denken darstellt, um Auskunft zu erhalten über das unermessliche geistig Seiende; andere sind ihm verboten. Diese Beschränkung liegt zunächst in seiner endlichen Natur begründet, die es ihm offensichtlich unmöglich macht, überhaupt Fragen nur zu stellen, deren Voraussetzungen unendlich groß sind; etwa ob ein definiertes Objekt alle Eigenschaften aus einer unendlich großen Eigenschaftsmenge besitze. Jedoch ist dies noch keineswegs ausreichend, um die enge Eingrenzung zu erklären, welcher der Verstand bei der Erkenntnis des geistig Seienden unterliegt. So lassen sich etwa auch die Fragen auf endlichem Raum formulieren, ob zwei gegebene, verschiedene Objekte eine nichttriviale (das ist nicht ihren jeweiligen definierenden Eigenschaftsmengen angehörende) Eigenschaft gemeinsam haben, ob eine gegebene Klasse endlich oder unendlich viele Objekte enthalte oder welche Eigenschaft man einer gegebenen Eigenschaftsmenge hinzufügen müsste, damit das von ihr definierte Objekt identisch zu einem anderen wird; welche sich aber doch nicht, zumindest nicht im Allgemeinen, vermittelst der besagten Erkenntnisfähigkeiten in endlich vielen Schritten beantworten lassen. Eine solche Antwort mag zwar in vielen speziellen Fälle möglich sein, etwa indem der Verstand die erste Frage positiv beantwortet, nachdem er eine geeignete Eigenschaft erraten hat, oder die zweite vermittelst Überlegungen zur Struktur der Eigenschaften in dem Universum, der die Klasse angehört, nach der einen oder anderen Seite auflöst. Doch ist sie nicht garantiert. Der Grund, weshalb wir die Fähigkeit, derartige Fragen allgemein und grundsätzlich auflösen zu können, dem Verstande nicht zusprechen können, ist dass er damit von der Konkretheit eines Objektes gänzlich losgelöste Fragen an die mengentheoretisch-ontologische Struktur entweder der Objekt- oder der Eigenschaftsallmenge stellen würde, welches dem Denken jedoch fremd ist. Es kann in einem selbst schon rätselhaften, spontanen Akt ein Objekt aus der Unermesslichkeit des geistig Seienden hervorholen und dann untersuchen; aber nicht über die Objekt- oder Eigenschaftsallmenge quantifizieren.

In Anbetracht der engen Verknüpfung von geistigem Sein und Denken, welche wir postulieren, lässt sich fragen, ob sich dem geistig Seienden überhaupt ontologische Charakteristika zusprechen lassen, die darüber hinausgehen, was das Denken davon erkennen kann. Die Frage berührt den leicht paradoxalen Zug, den das Verhältnis von geistigem Sein und Denken besitzt, ja weist vielleicht sogar auf das allem Philosophieren zugrundeliegende Paradox hinaus, dass man außerhalb der Welt stehen können müsste, um sie eigentlich zu begreifen. Zumindest im Rahmen der Überlegungen auf der oben beschriebenen Metaebene lassen sich durchaus solche ontologischen Charakteristika des Geistigen ausfindig machen, die über das denkend Erkennbare in besagtem strengen Sinne hinausgehen. Tatsächlich hatten wir in unseren bisherigen Untersuchungen bereits einige derartige Charakteristika zu Tage gefördert, und indem man mengentheoretische Überlegungen sowie das Verfahren des induktiven Schlusses auf die Erkenntnisse des Verstandes anwendet, lassen sich noch mehr auffinden. Es fällt schwer, diese dem geistig Seienden nicht zuzusprechen. Es gibt indes auch Fragen über das geistig Seiende, die sich selbst auf der Metaebene nur formulieren, jedoch nicht beantworten lassen; solche müssen wir schlicht als sinnlos, das ist auf ein nicht wohldefiniertes Prädikat des geistig Seienden bezogen ansehen. Das beste Beispiel ist folgendes: Welcher Mächtigkeit ist die Menge aller denkbaren Eigenschaften? Auf der Metaebene lässt sich zumindest schließen, dass diese nicht endlich sein kann, wie sich nämlich aus der Möglichkeit, gewisse Eigenschaften vermittelst Relationen beliebig zusammenzusetzen, ableiten lässt. Doch weiter kommt man nicht, denn es bleibt unklar, welcher Mächtigkeit die Menge der elementaren Eigenschaften, ja schon der Universen ist, welche dem Denken in einer spontanen Schöpfung entspringen. Da aber die Erkenntnisfähigkeiten des Verstandes nur auf ein konkretes Objekt bezogen sind und er außer Stande ist, über alle Eigenschaften oder Objekte zu quantifizieren, kann er diese Frage unmöglich auflösen helfen. Es ist darum rundheraus sinnlos zu fragen, welcher Art die Unendlichkeit aller denkbaren Eigenschaften ist, da sich die zur Entscheidung dieser Frage nötige Bijektion zwischen einer mathematischen Menge gegebener Mächtigkeit und derjenigen aller Eigenschaften nicht konstruieren lässt.

Noch eine weitere Schwierigkeit müssen wir betrachten, die im Kreise der aus dem Spannungsverhältnis zwischen geistigem Sein und Denken sich ergebenden Eigentümlichkeiten steht. Wir haben bisher davon gesprochen, dass der Verstand ein Objekt denkt, indem er eine endliche Menge von Eigenschaften vorgibt, welche das Objekt definieren. Nun ist es aber zumindest vorstellbar, dass es Objekte gibt, die sich nicht vermittelst einer endlichen Anzahl an Eigenschaften definieren lassen. Die Mathematik gibt hier mit den reellen Zahlen das klassische Beispiel an die Hand: Zwar gibt es natürlich reelle Zahlen, auch irrationale, die sich durch endlich viele Eigenschaften definieren lassen, etwa die bekannten irrationalen mathematischen Konstanten. Doch sind die reellen Zahlen, die sich mit endlich vielen Eigenschaften definieren lassen, abzählbar, während die reellen überabzählbar sind, sodass es zwangsläufig reelle Zahlen gibt, auf die das nicht zutrifft. Man könnte nun die Position einnehmen, dass der Verstand derartige Objekte nicht denken könne; somit wären sie zwar in gewisser Weise vorstellbar, aber ihnen käme keine Existenz als geistig seiendes Objekt zu. Jedoch hat diese Haltung das Problem, dass sie einen inkonsequent wirkenden Zug besitzt: Denn wir nehmen an, dass Objekte in der Regel unendlich viele Eigenschaften besitzen, auch wenn sie sich anhand einer endlichen Anzahl definieren lassen. Vor diesem Hintergrund erscheint es als ein allzu großes Zugeständnis an das Denken und seine endliche Natur, wenn wir die denkbaren Objekte auf diejenigen einschränken, bei denen eine endliche Teilmenge ihrer Eigenschaften alle anderen festlegt. In der ontologisch-mengentheoretischen Sichtweise wirkt es willkürlich, nur derartige Objekte zuzulassen.

Aus diesem Grunde müssen wir davon absehen, die Voraussetzungen für ein geistig seiendes Objekt derart eng zu fassen; was aber offensichtlich bedeutet, dass wir auch den Begriff der Denkbarkeit im Vergleich zu unserem bisherigen Verständnis zu erweitern nicht umhinkommen. Das Denken, das ist das Definieren eines Objekts, in diesem bisherigen Verständnis, welches darin besteht, ein Objekt vermittelst einer endlichen, somit vom Verstande vollumfänglich erfassbaren Eigenschaftsmenge auszusondern, wollen wir als Denken in concreto bezeichnen, da in dessen Rahmen der Verstand ein konkretes Objekt unmittelbar erfasst. Um Objekte abzubilden, die sich nicht durch endlich viele Eigenschaften definieren lassen, muss sich der Verstand hingegen eines Denkens in abstracto bedienen. Darunter ist zu verstehen, dass er ein Objekt, statt es an sich zu denken, vielmehr als Element einer unendlichen Menge denkt. Diese Menge wiederum stellt der Verstand anhand gewisser unendlicher Folgen von Eigenschaften vor. In diesen Folgen muss jedes einzelne Glied in einer endlichen Anzahl von Schritten vermittelst einer endlichen Anzahl von fest vorgegebenen Relationen gemäß einer induktiv definierten Regel aus endlich vielen elementaren Eigenschaften konstruierbar sein, welche Konstruktion eine endliche Anzahl von willkürlichen Wahlen aus einer endlichen Menge von elementaren Eigenschaften beinhaltet. Jede endliche Teilfolge einer solchen unendlichen Folge definiert ein unbestimmtes Objekt, sodass deren Durchlaufen eine unendliche Folge ineinander geschachtelter natürlicher Klassen erzeugt, die von den Gliedern der Eigenschaftsfolge bis zu dem jeweiligen Punkt gebildet werden; erst das eine in all diesen unendlich vielen Klassen liegende Objekt ist das eigentlich definierte. Sofern nicht noch andere, von der unendlichen Eigenschaftsfolge unabhängige Eigenschaften dazu nötig sind, ist dieses Objekt dann, anders als alle Objekte in der von der Eigenschaftsfolge erzeugten Abfolge von Objekten, ein bestimmtes; um es bestimmt zu machen, ist schlicht eine unendliche Anzahl von Spezifizierungen von Nöten. Es kann auch ein Objekt vermittelst mehrerer unabhängiger, jedoch endlich vieler Eigenschaftsfolgen in abstracto gedacht werden; welches sich jedoch auf den Fall einer einzigen zurückführen lässt, da sich endlich viele unendliche Folgen in eine einzige zusammenführen lassen.

Die reellen Zahlen sind das Beispiel par excellence für nur in abstracto denkbare Objekte, wenn man von den abzählbar vielen darunter absieht, die sich durch endlich viele Eigenschaften definieren lassen. Die vollständige Dezimalentwicklung einer reellen Zahl kann der Verstand nicht erfassen, sofern die einzelnen Ziffern sich willkürlich bestimmen; doch kann er sich zweifellos eine Vorstellung machen von dem Prinzip, nach dem sich eine Dezimalstelle an die nächste fügt und die reelle Zahl derart immer weiter spezifiziert wird, bis sie schließlich im Unendlichen zu einem bestimmten Objekt wird, jedoch nur als eine von unendlich vielen, die durch die willkürlichen Auswahlen der jeweiligen Ziffern entstehen; welches gerade das Konzept des Denkens in abstracto darstellt. Man kann nun fragen: Wenn die Elemente einer Menge von der Mächtigkeit des Kontinuums jeweils eine eigenständige geistige Existenz beanspruchen können, wie verhält es sich dann mit Mengen noch größerer Mächtigkeit? Ist etwa jede einzelne Teilmenge der reellen Zahlen ein denkbares und somit geistig seiendes Objekt? Es mag überraschen, da es auf den ersten Blick willkürlich erscheint, aber tatsächlich verläuft hier eine Trennlinie: Die Teilmengen der reellen Zahlen sind nicht mehr allesamt denkbar. Dass sich diese von den reellen Zahlen selbst derart fundamental unterscheiden, liegt daran, dass zur Definition einer willkürlich gewählten Teilmenge der reellen Zahlen nicht nur unendlich viele Eigenschaften nötig wären, sondern schon diese Eigenschaften selbst sich nicht mehr von einem endlichen Verstande erfassen ließen. An einer bestimmten Stelle der Dezimalentwicklung eine bestimmte Ziffer aufzuweisen, ist eine Eigenschaft, die der Verstand leicht in endlich vielen Schritten anhand von Relationen aus elementaren Eigenschaften bilden kann. Jedoch in endlich vielen Schritten die Eigenschaft zu konstruieren, eine bestimmte reelle Zahl, die sich nicht durch endlich viele Eigenschaften definieren lässt, als Element zu enthalten oder nicht, würde eine Relation verlangen, die als Argument ein Objekt, eben jene reelle Zahl, haben könnte. Wohlweislich hatten wir indes Objekte als Argumente der Relationen ausgeschlossen und dafür nur Eigenschaften zugelassen, deren Anzahl zwar unter Umständen variabel sein kann, aber stets endlich ist; wodurch sichergestellt bleibt, dass der Verstand die gebildete Eigenschaft vollumfänglich erfassen kann und Eigenschaften nicht in gleichsam automatischer, vom Denken losgelöster Weise entstehen. Wir können zwar noch Objekte als geistig seiend annehmen, welche sich nur durch unendlich viele Eigenschaften definieren lassen; aber (hypothetische) Objekte, deren Eigenschaften schon gar nicht mehr denkbar sind, sind selbst offensichtlich erst recht nicht denkbar. An dieser Stelle verläuft der schmale Grat zwischen dem Standpunkt des geistigen Seins und demjenigen des Denkens, auf welchem wir unsere Betrachtungsweise halten müssen. Bemerkt sei aber, dass etwa die Potenzmenge des Kontinuums, als bloßer Gegenstand einer mathematischen Theorie, natürlich denkbar und geistig seiend ist; nur all ihren individuellen Elementen jeweils eine Denkbarkeit zuzusprechen ist nicht möglich. Tatsächlich widerspräche es auch dem Postulat, dass die Gesamtheit der Objekte eine Menge darstellt, wenn die Elemente von Mengen beliebiger Mächtigkeit jeweils eine eigenständige Existenz als geistig seiendes Objekt besäßen.

Wie wir oben schon angedeutet hatten, erfordert die Möglichkeit, Objekte in abstracto denken zu können, eine geringfügige Verallgemeinerung der oben beschriebenen Erkenntnisfähigkeiten des Verstandes. Da er sich beim Denken in abstracto eine unendliche Menge an Objekten anstatt eines einzelnen vorlegt, muss er in der Lage sein zu entscheiden, ob alle diese Objekte ohne Selbstwiderspruch sind, sowie ob es mindestens ein solches Objekt gibt; und analog ob für eine vorgegebene Eigenschaft gilt, dass sie von allen Objekten besessen wird, und ob mindestens eines sie besitzt. Darüber hinaus müssen wir zu diesen Erkenntnisfähigkeiten noch eine weitere zählen, nämlich zu entscheiden, ob zwei Definitionen in abstracto äquivalent sind in dem Sinne, dass die Mengen an definierten Objekten gleich sind; was sich im Gegensatz zum Falle des Erkenntnisvermögens in concreto nicht auf die ersten beiden Fähigkeiten zurückführen lässt.

Soviel zu der Menge des geistig Seienden, wie sie sich aus der Sicht des Denkens darstellt. Wir haben bei der Behandlung der Erkenntnis des Geistigen durch den Verstand nur von den Beschränkungen derselben gesprochen, ohne uns zu vergegenwärtigen, wie bemerkenswert auch schon die Fähigkeiten des Verstandes sind, die wir ihm zugestehen. Denn wir postulieren, dass der Verstand, ungeachtet seiner endlichen Natur, in der Lage ist, über die Selbstwidersprüchlichkeit einer definierenden Eigenschaftsmenge zu entscheiden, obwohl dafür, zumindest der ursprünglichen Definition nach, die Überprüfung unendlich vieler Objekte nötig wäre; und ebenso, wenn er zu entscheiden sucht, ob eine gegebene Eigenschaft von einer Eigenschaftsmenge impliziert oder antiimpliziert wird. Wie aber das vonstatten gehen könne, wollen wir im Folgenden untersuchen.

Wir hatten zu Anfang dieser Schrift davon gesprochen, dass zweierlei Gegenstand des Denkens sein kann: Objekte und Aussagen. Bisher standen nun eindeutig erstere im Vordergrund; ja von Aussagen war ab der zweiten Hälfte dieser Schrift fast gar nicht mehr die Rede; allenfalls implizit klangen sie im vorangehenden Abschnitt an. In diesem letzten Teil unserer Betrachtungen soll es darum um diesen nicht minder bedeutsamen Gegenstand des Denkens gehen; wir werden es einer eingehenderen Untersuchung unterziehen, wie der Verstand Aussagen bildet und nach welchen Gesetzmäßigkeiten er sie aufeinanderfolgen lässt. Wie zu Beginn der Schrift angekündigt, soll es uns dabei allein um Aussagen zu tun sein, die sich auf die geistig seienden Objekte an sich beziehen, und nicht auf das Wirklichsein dieser Objekte oder gar metaphysische Sachverhalte.

Zuerst müssen wir klären, was unter solchen Aussagen überhaupt zu verstehen sei, das ist wie sich ihre konkrete Gestalt charakterisieren lasse. Wie wir schon oben festgestellt hatten, können wir Aussagen als zusammengesetzt ansehen aus einem Satz und der Beziehung zur Wahrheit, in welche der Verstand diesen stellt. Diese Beziehung zur Wahrheit des Satzes kann darin bestehen, dass er wahr ist, dass er falsch ist, oder dass der Verstand sich kein Urteil dazu erlaubt, ob der Satz wahr oder falsch sei. Letztere Wahrheitsbeziehung legt der tatsächlich existierende Verstand Sätzen häufig bei, oft bloß zeitweilig, indem er die Frage nach deren Wahrheitsgehalt späterhin nach der einen oder anderen Seite auflöst, wiewohl es auch vorkommen kann, dass ihm überhaupt keine Auflösung gelingt. Der ideale Verstand hingegen muss zur Bestimmung des Wahrheitsgehalts eines beliebigen Satzes in der Lage sein, und wir können ihn uns ohne eine zeitliche Ausdehnung vorstellen; dementsprechend ist die dritte mögliche Wahrheitsbeziehung für den idealen Verstand gänzlich irrelevant. Da wir im Folgenden, wie auch im größten Teil dieser Schrift, nur dessen ideales Denken betrachten wollen, können wir fortan von nur zwei möglichen Beziehungen zur Wahrheit, eben wahr und falsch, ausgehen; die besagte dritte ist allenfalls für Untersuchungen zum Charakter des tatsächlich existierenden Verstandes, die wir hier aber nicht anstellen, von Bedeutung.

Worin aber bestehen nun Sätze? Letztlich ist das Ziel des Verstandes, durch sein Denken die oben benannten Fragen an das geistig Seiende aufzulösen, das ist ob eine Eigenschaftsmenge selbstwidersprüchlich ist und somit kein Objekt definiert, oder ob sie ein bestimmtes oder ein unbestimmtes Objekt definiert; und falls sie ein Objekt definiert, ob dieses eine gewisse Eigenschaft besitzt oder nicht besitzt. Was wir als denkbare Sätze ansetzen, steht mit diesen Fragen in engem Zusammenhang; die denkbaren Arten von Sätzen müssen offensichtlich deren Beantwortung erlauben, doch lassen sich auch Sätze denken, die über das dafür Nötige ein wenig hinausgehen; diese dienen dem Verstande als Hilfsmittel, um zu den Antworten auf die Fragen zu gelangen. Wir setzen also folgende Arten von Sätzen an: dass eine (endliche) Eigenschaftsmenge selbstwidersprüchlich ist; dass sie ein bestimmtes Objekt definiert; dass sie ein unbestimmtes Objekt definiert; dass sie eine Eigenschaft impliziert; und schließlich dass sie eine Menge von Eigenschaftsmengen disjunktiv impliziert. Die gewöhnliche Implikation hatten wir oben bereits eingeführt: Wir sagen, dass eine Eigenschaftsmenge M eine Eigenschaft E impliziert, wenn jedes Objekt, das M besitzt, auch E besitzt. Zumindest ist das die ontologisch-mengentheoretische Definition; auf der Ebene des Denkens sprechen wir besser davon, dass für den Verstand M die Eigenschaft E mit sich bringt. Die disjunktive Implikation hingegen hatten wir bisher noch nicht eingeführt. Wir sagen, dass eine Eigenschaftsmenge M eine (endliche) Menge N von (endlichen) Eigenschaftsmengen disjunktiv impliziert, wenn jedes bestimmte Objekt, das M besitzt, auch sämtliche Eigenschaften aus mindestens einer der in N enthaltenen Eigenschaftsmengen besitzt. Das ist für den Verstand bringt M entweder die Eigenschaften des ersten Elements von N mit sich, oder des zweiten und so fort. Wenn wir den Ausdruck, dass eine Eigenschaftsmenge M eine andere Eigenschaftsmenge M’ impliziert, als abkürzende (und oftmals sehr praktische) Sprechweise dafür betrachten, dass M jedes Element aus M’ impliziert, dann reduziert sich die disjunktive Implikation für den Fall, dass N nur ein Element besitzt, auf die gewöhnliche Implikation. Die disjunktive Implikation ist oftmals nötig, um gewisse Anschauungen des Denkens über die Eigenschaften auszudrücken; etwa dass die Eigenschaft, kleiner als drei (und eine natürliche Zahl) zu sein, es mit sich bringt, entweder eins zu sein oder zwei zu sein. Wir hatten oben auch in Analogie zur Implikation die Antiimplikation eingeführt; eine Eigenschaftsmenge M antiimpliziert eine Eigenschaft E genau dann, wenn jedes Objekt, das M besitzt, E nicht besitzt. Jedoch dass M die Eigenschaftsmenge M antiimpliziert, ist äquivalent dazu, dass die Vereinigung aus M und E selbstwidersprüchlich ist, sodass die Einführung eines eigentlichen Satzes, der in der Antiimplikation besteht, zu einer Redundanz führen würde, weshalb wir darauf verzichten. Jedoch werden wir im Folgenden bisweilen den Ausdruck, dass M die Eigenschaft E antiimpliziert, als bloßen Platzhalter anstelle desjenigen verwenden, dass die Vereinigung aus M und E selbstwidersprüchlich ist, da diese Sprechweise in einigen Fällen sowohl kürzer als auch anschaulicher ist.

Jedenfalls lassen sich in Form der gegebenen Sätze die Antworten auf besagte Fragen geben. Für die Selbstwidersprüchlichkeit einer Eigenschaftsmenge, oder dass sie ein bestimmtes oder unbestimmtes Objekt bildet, ist das offensichtlich; und definiert sie ein bestimmtes oder unbestimmtes Objekt, so besitzt dieses eine Eigenschaft E genau dann, wenn sie diese impliziert. Im Falle eines bestimmten Objekts lässt sich alternativ überprüfen, ob die Vereinigung aus M und E selbstwidersprüchlich ist; das durch M definierte Objekt besitzt E genau dann, wenn das nicht der Fall ist.

Die bis hierher gegebenen Arten von Sätzen wollen wir als Elementarsätze bezeichnen. Dieses sind die Sätze im eigentlichen Sinne, in denen der Verstand bereits alle ihm mögliche Erkenntnis über die Objekte ausdrücken kann; doch tritt in seinem Denken darüber hinaus eine Art von Sätzen auf, die wir als Schemasätze bezeichnen wollen. Diese bestehen in einem Schema, demgemäß einzelne Elementarsätze gebildet werden können; ein Schemasatz lässt sich in einer unendlichen Zahl von Elementarsätzen auflösen (wir wollen dabei keine Schemasätze zulassen, die sich in endlich viele Elementarsätze auflösen lassen, da sie redundant wären). Eine genauere Charakterisierung solcher Schemata wird unten gegeben werden. Prinzipiell vorstellbar wäre es auch, Sätze durch Verbindung von Elementarsätzen vermittelst logischer Konnektoren, das ist Konjunktion, Disjunktion, oder Implikation, sowie durch Modifikation vermittelst Negation zu bilden; oder aber, Schemata über derart verbundene oder modifizierte Elementarsätze aufzustellen. Jedoch Sätze der ersten Art wären redundant, da wir annehmen, dass der Verstand für jeden Elementarsatz seinen Wahrheitsgehalt auffinden kann, und sich derjenige eines derart zusammengefügten Satzes unmittelbar aus demjenigen seiner Teilsätze ergibt, ohne dass echt neue Erkenntnis in diesem bestünde. Sätze der zweiten Art aber besäßen gewissermaßen einen metasprachlichen Charakter, wenn sie Disjunktionen oder Implikationen enthielten, indem sie eine allgemeine Struktur des geistig Seienden beschrieben, sodass sie nicht Gegenstand von Aussagen über das geistig Seiende im eigentlichen Sinne sein können; hingegen wären sie redundant, wenn sie ausschließlich Konjunktionen oder Negationen enthielten. Allgemein verstehen wir dabei in diesem Zusammenhang unter der Redundanz einer Satzform, dass diese zur vollständigen Beschreibung der Funktion und des Erkenntnisvermögens des idealen Verstandes überflüssig ist und sie somit unnötig verkompliziert, selbst wenn diese möglicherweise eine gewisse Art von im tatsächlichen Verstande auftretenden Gedanken abbilden mag; derartige Satzformen wollen wir in unseren Überlegungen zum idealen Denken darum nicht zulassen. Denselben Redundanzbegriff legen wir auch in Bezug auf die unten eingeführten Schlussregeln zugrunde; wiewohl wir dort weniger streng verfahren und auch redundante Schlussregeln angeben werden, indem solche nicht notwendigerweise zu einer Verkomplizierung führen, sondern vielmehr auch eine Vereinfachung der Beschreibung des idealen Denkens leisten können.

Es mag überraschen, dass die Sätze der angegebenen Formen schon alle in gedachten Aussagen auftretenden Sätze, selbst unter den benannten Einschränkungen und die redundanten abgezogen, abdecken sollen. Doch ist es tatsächlich so, dass sich ein im Denken auftretender Satz, welcher sich nicht als Elementarsatz im obigen Sinne analysieren lässt (oder als trivialerweise aus solchen vermittelst logischer Konnektoren oder Negation zusammengesetzt), oder als Schema solcher Elementarsätze, entweder einen Wirklichkeitsbezug enthält, oder aber derart beschaffen ist, dass der endliche Verstand ihn nicht mehr in einen Bezug zur Wahrheit setzen kann. Etwa sagen Sätze wie „Es regnet“ oder „Sokrates hat in Athen philosophiert“ oder aber „Auf der Straße sind viele Menschen“ etwas über die Wirklichkeit aus. Hingegen müssen Sätze, die allein über die Dinge an sich sprechen, zuerst die Definition eines Dings geben, bevor sie ihm Eigenschaften zu- oder absprechen können; welches sich als die Implikation oder Antiimplikation dieser Eigenschaften durch die definierende Eigenschaftsmenge auffassen lässt. Etwa können wir „Wenn es regnet, wird die Erde nass“ analysieren als „Die Eigenschaft einer Szenerie, dass darin Regen herrscht, impliziert, dass darin die Erde nass sein muss“ oder aber „Der Mensch ist sterblich“ als „Die Eigenschaft, Mensch zu sein, impliziert es, sterblich zu sein“. Zu der Möglichkeit von Sätzen, die sich nicht in einen Bezug zur Wahrheit setzen lassen, wird unten mehr gesagt werden.

Wir können uns den idealen Verstand derart vorstellen, dass er eine (endliche) Sammlung von gedachten Aussagen besitzt; dieser nach Belieben weitere Aussagen hinzufügen kann, indem er entweder vermittelst der Anschauung spontan eine neue Aussage schafft oder aber vermittelst des logischen Schlusses, wobei er für diesen auf die gesamte bestehende Sammlung von Aussagen zurückgreifen kann; und er sich außerdem die Frage nach dem Wahrheitsgehalt eines Elementarsatzes vorlegen kann, die er dann beantwortet, indem er zielgerichtet neue Aussagen zu seinem Fundus hinzufügt, bis eine Aussage, die diesen Satz zum Gegenstande hat, diesen also entweder für wahr oder für falsch erklärt, darin vorhanden ist. Da wir den idealen Verstand als vollkommen irrtumsfrei definieren, kann tatsächlich in seiner Sammlung von Aussagen für einen gegebenen Satz nur die Aussage, die ihn für wahr, oder diejenige, die ihn für falsch erklärt, vorhanden sein, nicht aber beide zugleich; sodass mit dem Auftreten einer Aussage im Verstande die Frage nach der Wahrheit des Satzes, den sie zum Gegenstande hat, unmittelbar aufgelöst ist.

Da der logische Schluss, von einigen trivialen Aussagen abgesehen, die er ohne Voraussetzungen hervorbringen kann, der Prämissen, das ist der schon bestehenden Aussagen bedarf, um zu einer neuen Aussage zu gelangen, muss es offensichtlich Aussagen geben, die der Verstand nur vermittelst der Anschauung auffinden kann. Die Frage, ob er auch zu allen Aussagen vermittelst der Anschauung zu gelangen vermöge, oder es vielmehr in manchen Fällen auch notwendigerweise des logischen Schlusses bedürfe, soll uns nicht bekümmern; denn aufgrund der Irrtumsfreiheit des idealen Verstandes müssen Anschauung und logischer Schluss, wo sie beide möglich sein sollten, in ihrem Ergebnis stets übereinstimmen. Der tatsächlich existierende Verstand jedenfalls kann zweifellos nicht alle Aussagen vermittelst der Anschauung auffinden; ihm gelingt dies nur für solche, die hinreichend einfach sind, wohingegen er für komplexere Aussagen sich des logischen Schlusses bedienen muss. Wir wollen darum, wenn wir die Aussagenbildung durch den idealen Verstand untersuchen, von der Annahme ausgehen, dass er nur so viele Aussagen aus der Anschauung schöpft, wie es gerade eben nötig ist, alle anderen aber aus diesen Axiomen vermittelst des logischen Schlusses ableitet. Dadurch wird der Vorgang der Aussagenbildung, letztlich also der Erkenntnis der Wahrheit über die Dinge, so fasslich wie möglich gemacht; sähen wir hingegen jede Aussage als der Anschauung entsprungen an, so müsste unsere Untersuchung hier schon enden.

Wir wollen nun eine Liste logischer Ableitungsregeln für Elementaraussagen, das ist in Elementarsätzen bestehende Aussagen, angeben. Der Verstand kann auf drei verschiedene Weisen eine neue Aussage vermittelst des logischen Schlusses zu seinem Fundus hinzufügen: Er kann eine der Ableitungsregeln unmittelbar auf schon im Fundus vorhandene Aussagen als Prämissen anwenden; er kann eine Aussage versuchsweise dem Fundus hinzufügen und vermittelst logischen Schlusses dem Fundus weitere Aussagen versuchsweise hinzufügen; trifft er dabei auf einen Widerspruch, das ist leitet er zwei Aussagen mit gleichem Satz, aber verschiedenem Wahrheitsgehalt ab, so darf er die Aussage A’, welche A mit umgekehrtem Wahrheitsgehalt ist, tatsächlich dem Fundus hinzufügen (Widerspruchsbeweis); und schließlich kann er auch einen Satz einmal als wahr und einmal als falsch versuchsweise dem Fundus hinzufügen; kann er in beiden Fällen eine Aussage A ableiten, so darf er A dem Fundus tatsächlich hinzufügen (Fallunterscheidung). Es sei auch vorausgeschickt, dass wir hier noch Ableitungsregeln auslassen, die für nur in abstracto denkbare Objekte von Bedeutung sind; diese werden wir später gesondert behandeln. Außerdem sei die Konvention vereinbart, dass eine Aussage, die darin besteht, dass ein bestimmter Satz wahr ist, ohne weitere Zusätze durch eine schlichte Verbalisierung dieses Satzes selbst dargestellt werden kann, wohingegen eine Aussage, die einen Satz für falsch erklärt, durch eine sprachlich verneinte Form dieser Verbalisierung gegeben werden kann; welche Konvention durchweg eine Vereinfachung der Ausdrucksweise erlaubt.

(1) Ohne nötige Prämissen lässt sich die Aussage ableiten, dass eine beliebige Eigenschaft sich selbst impliziert.

(2) Von der Prämisse, dass eine Eigenschaftsmenge M eine Eigenschaft E impliziert, oder eine Menge N von Eigenschaftsmengen disjunktiv impliziert, lässt sich die Aussage ableiten, dass auch die Menge M’ die Eigenschaft E impliziert, beziehungsweise N disjunktiv impliziert, wenn M eine Teilmenge von M’ ist.

(3) Daraus, dass eine Eigenschaftsmenge M eine andere Eigenschaftsmenge M’ impliziert (das ist jede Eigenschaft aus M’ impliziert) und diese wiederum eine Eigenschaft E impliziert, folgt, dass M die Eigenschaft E impliziert. Diese Schlussregel findet ihre Verallgemeinerung für die disjunktive Implikation in Regel (6).

(4) Wenn eine Eigenschaftsmenge M eine Menge N von Eigenschaftsmengen disjunktiv impliziert, so lässt sich ableiten, dass es auch N’ disjunktiv impliziert, wenn N Teilmenge von N’ ist.

(5) Für Mengen N und N’ von Eigenschaftsmengen lässt sich aus den Aussagen, dass eine Eigenschaftsmenge M sowohl N als auch N’ disjunktiv impliziert, ableiten, dass M die Produktmenge aus N und N’ disjunktiv impliziert, das ist die Menge, die jede paarweise Vereinigung je einer Menge aus N und aus N’ enthält.

(6) Aus der Aussage, dass eine Eigenschaftsmenge M eine Menge N von Eigenschaftsmengen disjunktiv impliziert, und den Aussagen, dass die einzelnen Elemente von N jeweils selbst gewisse Mengen N’ von Eigenschaftsmengen implizieren, lässt sich ableiten, dass M die Vereinigung all dieser Mengen N’ disjunktiv impliziert. Diese Regel verallgemeinert (3).

(7) Dass eine Eigenschaftsmenge M ein bestimmtes Objekt definiert, ein unbestimmtes Objekt definiert oder selbstwidersprüchlich ist, schließt sich gegenseitig aus, das ist aus der Aussage, dass einer dieser Sätze wahr ist, lässt sich ableiten, dass die anderen beiden falsch sind, und daraus, dass zwei davon falsch sind, folgt, dass der dritte Satz wahr ist.

(8) Ohne Prämisse lässt sich ableiten, dass die aus einer einzigen Eigenschaft bestehende Eigenschaftsmenge nicht selbstwidersprüchlich ist.

(9) Daraus, dass eine Eigenschaftsmenge M selbstwidersprüchlich ist, folgt für eine beliebige Eigenschaft, dass M diese impliziert.

(10) Seien M und M’ Eigenschaftsmengen. Daraus, dass M ein bestimmtes Objekt bildet, und dass die Vereinigung aus M und M’ nicht selbstwidersprüchlich ist, folgt, dass die Eigenschaftsmenge M die Eigenschaftsmenge M’ impliziert.

(11) Seien M, M’ und M’’ Eigenschaftsmengen. Impliziert die Eigenschaftsmenge M die Eigenschaftsmenge M’ und umgekehrt, so folgt aus der Aussage, dass die Vereinigung aus M’ und M’’ ein bestimmtes Objekt definiert, ein unbestimmtes Objekt definiert oder selbstwidersprüchlich ist, dass dasselbe für die Vereinigung aus M und M’’ gilt.

(12) Aus der Aussage, dass eine Eigenschaftsmenge M eine Menge N von Eigenschaftsmengen disjunktiv impliziert, und einer Menge von Aussagen, die besagen, dass verschiedene Eigenschaftsmengen M’ mit jeweils einem Element von N vereinigt selbstwidersprüchlich sind, lässt sich ableiten, dass die Vereinigung aus M und all diesen M’ disjunktiv die Menge N’ von Eigenschaftsmengen impliziert, welche durch Entfernung aller Eigenschaftsmengen aus N gebildet ist, welche mit einem M’ vereinigt selbstwidersprüchlich sind. Gilt das für alle Elemente aus N, so folgt stattdessen, dass die besagte Vereinigung selbstwidersprüchlich ist.

Die Gültigkeit dieser Schlussregeln lässt sich leicht innerhalb der mengentheoretischen Metasprache, mit der sich Aussagen über die Struktur der Objektallmenge machen lassen und in der wir auch den Begriff der Implikation definiert hatten, nachweisen. Die gegebenen Regeln sind prinzipiell ausreichend, um alle zur Beantwortung der oben aufgegebenen Fragen nötigen Ableitungen zu führen. Es lässt sich aus ihnen jedoch eine Reihe weiterer Regeln herleiten, von denen wir nun einige angeben, welche im Folgenden nützlich sein werden oder von allgemeinem Interesse sind:

(13) Aus allen oben (und auch im Folgenden) gegebenen Ableitungsregeln lässt sich unmittelbar eine weitere, ihre kontraponierte Version, ableiten: Bestehen die Prämissen einer Ableitungsregel in einer Aussage A und einer (möglicherweise leeren) Menge von weiteren Aussagen P, und lässt sich aus diesen Aussage B ableiten; so ist es ebenso eine gültige Ableitungsregel, dass sich aus B’ und den Aussagen aus P als Prämissen die Aussage A’ ableiten lässt, wobei A’ und B’ die Aussagen A und B mit umgekehrtem Wahrheitsgehalt sind. Dies folgt unmittelbar aus der Möglichkeit des Widerspruchsbeweises.

(14) Seien M und M’ Eigenschaftsmengen. Daraus, dass die Eigenschaftsmenge M die Eigenschaftsmenge M’ impliziert, und dass M ein bestimmtes Objekt definiert, ein unbestimmtes Objekt definiert oder selbstwidersprüchlich ist, folgt, dass dasselbe für die Vereinigung aus M und M’ gilt. Dies lässt sich folgendermaßen ableiten: Mit (1) und (2) folgt aus den Prämissen, dass M auch die Vereinigung aus M und M’ impliziert und umgekehrt. Dann ergibt sich mit (11) besagte Folgerung.

(15) Seien M und M’ Eigenschaftsmengen und M eine Teilmenge von M’. Dann folgt aus der Aussage, dass M selbstwidersprüchlich ist, dass auch M’ selbstwidersprüchlich ist; daraus, dass M’ ein unbestimmtes Objekt definiert, dass auch M ein unbestimmtes Objekt definiert; daraus, dass M’ ein bestimmtes Objekt definiert, dass M nicht selbstwidersprüchlich ist; und schließlich daraus, dass M ein bestimmtes Objekt definiert, dass M’ nicht ein unbestimmtes Objekt definiert. Die erste Regel folgt daraus, dass wegen (9) M die Differenz aus M’ und M impliziert, dass dann aber wegen (14) auch die Vereinigung aus M und dieser Differenz, das ist M’, selbstwidersprüchlich ist. Die dritte ergibt sich mit einem Widerspruchsbeweis, da gemäß der ersten Regel auch M’ selbstwidersprüchlich sein müsste, wenn M es wäre. Die vierte lässt sich mit einer Fallunterscheidung herleiten: Entweder impliziert M die Differenz aus M und M’, und dann folgt mit (14), dass auch M’ ein bestimmtes Objekt definiert; oder M impliziert sie nicht, dann folgt mit der kontraponierten Regel (10), dass M’ selbstwidersprüchlich ist; in beiden Fällen definiert M’ kein unbestimmtes Objekt. Die zweite ergibt sich durch eine Kombination aus (7) und Widerspruchsbeweis: Wäre M selbstwidersprüchlich, so müsste es auch M’ sein; würde M ein bestimmtes Objekt definieren, könnte M’ kein unbestimmtes Objekt sein.

(16) Seien M, M’ und M’’ Eigenschaftsmengen. Daraus, dass die Eigenschaftsmenge M die Eigenschaftsmenge M’ impliziert, und dass die Vereinigung aus M’ und M’’ selbstwidersprüchlich ist, folgt, dass auch die Vereinigung aus M und M’’ selbstwidersprüchlich ist. Dies lässt sich zeigen, indem man zunächst mit (1) und (2) herleitet, dass M die Vereinigung aus M und M’ impliziert und umgekehrt, sowie mit (15), dass die Vereinigung aller drei Mengen selbstwidersprüchlich ist; dann folgt die Aussage aus (11).

(17) Seien M und M’ Eigenschaftsmengen. Daraus, dass M ein unbestimmtes Objekt definiert und dass die Eigenschaftsmenge M die Eigenschaftsmenge M’ impliziert, folgt, dass auch M’ ein unbestimmtes Objekt definiert. Dies gilt, weil wegen (14) auch die Vereinigung aus M und M’ ein unbestimmtes Objekt definiert, und dann wegen (15) auch M’ als Teilmenge dieser Vereinigung ein unbestimmtes Objekt definiert.

(18) Seien M, M’ und M’’ Eigenschaftsmengen. Aus den Prämissen, dass sowohl die Eigenschaftsmenge M als auch die Eigenschaftsmenge M’ die Eigenschaftsmenge M’’ impliziert, dass M und M’ beide nicht selbstwidersprüchlich sind und dass die Vereinigung aus M und M’ selbstwidersprüchlich ist, folgt, dass M’’ ein unbestimmtes Objekt definiert. Dies lässt sich wie folgt zeigen: Zunächst kann M’’ wegen (16) nicht selbstwidersprüchlich sein, denn dann müssten auch M und M’ selbstwidersprüchlich sein. Nehmen wir also an, dass M’’ bestimmtes Objekt definiert. Die Implikation zwischen M und M’’ beziehungsweise M’ und M’’ muss dann auch in umgekehrter Richtung gelten, wie man folgendermaßen beweist: Mit (14) ergibt sich, dass die Vereinigung aus M und M’’ nicht selbstwidersprüchlich ist, daraus aber anhand von (10), dass auch die Eigenschaftsmenge M die Eigenschaftsmenge M’’ impliziert; analog geht man für M’ und M’’ vor. Dann müsste wegen (14) auch die Vereinigung aus M, M’ und M’’ ein bestimmtes Objekt bilden. Diese ist aber wegen (15) selbstwidersprüchlich. Deshalb kann M’’ auch kein bestimmtes Objekt definieren und muss ein unbestimmtes definieren.

Sowohl in seinen Begriffen als auch der Formulierung der Schlussregeln unterscheidet der bis hierhin eingeführte Eigenschaftskalkül sich deutlich von der klassischen Logik. Da sie in der Metasprache, welche sich vermittelst klassischer Prädikantenlogik formalisieren lässt, nachvollzogen werden können, ist es möglich zu zeigen, dass die angegebenen Schlussregeln im Rahmen der klassischen Logik korrekt sind. Dass wir dennoch diesen eigenständigen Kalkül einführen, liegt einerseits darin begründet, dass er einen weit natürlicheren begrifflichen Rahmen zur Beschreibung des Denkens von Objekten und Eigenschaften durch den Verstand zur Verfügung stellt. Andererseits aber sind in ihm die Ausdrucksmöglichkeiten und erlaubten Ableitungen im Vergleich zur klassischen Prädikantenlogik eingeschränkt, welches notwendig ist, um den Beschränkungen eines endlichen Verstandes Rechnung zu tragen.

Trotz ihrer andersartigen Form und ihres eigenständigen begrifflichen Rahmens lassen sich die gegebenen Schlussregeln teilweise zu denjenigen der klassischen Logik in Beziehung setzen. Sowohl diese als auch der Eigenschaftskalkül weisen zwei verschiedene, streng getrennt zu haltende Ausprägungen des Begriffs der Folgerung auf: Beiden gemeinsam ist die metasprachliche Implikation, das ist die Ableitung neuer Aussagen aus bestehenden; jedoch die zweite Ausprägung unterscheidet sich zwischen traditioneller Logik und Eigenschaftskalkül: Während jene unter einer Implikation im objektsprachlichen Sinne eine solche zwischen Sätzen versteht, das ist dass ein Satz B wahr sein muss, wenn ein anderer A wahr ist, tritt die Implikation im Eigenschaftskalkül als eine zwischen Eigenschaften auf, das ist besagt, dass ein Objekt, das Eigenschaft A besitzt, auch Eigenschaft B besitzen muss. Diese Verschiedenartigkeit des objektsprachlichen Implikationsverständnisses führt dazu, dass die Gleichsetzung von Schlussregeln des Eigenschaftskalküls mit denjenigen der traditionellen Logik nicht gänzlich eindeutig ist. Ein gutes Beispiel ist Schlussregel (3). Man könnte sie mit der Kettenschlussregel der traditionellen Logik gleichsetzen, da vereinfacht dargestellt aus der Implikation von B durch A und C durch B auf diejenige von C durch A geschlossen wird. Jedoch könnte man die Sache auch so sehen, dass zunächst die Eigenschaftsmenge M ein Objekt O definiert (sofern sie keinen inneren Widerspruch enthält), das als gegeben angenommen wird; und dass die Aussage, dass die Eigenschaftsmenge M’ die Eigenschaft E impliziert, eine eigentliche Implikation darstellt, wohingegen die Aussagen, dass M die Eigenschaften aus M’ impliziert, schlicht beinhalten, dass es wahr ist, dass O diese Eigenschaften besitzt. In dieser Sichtweise handelte es sich bei (3) eher um die Entsprechung des Modus ponens. Andere, ebenso mit einer gewissen Vorsicht zu nehmende Gleichsetzungen sind folgende: (1) ist vergleichbar damit, dass die Implikation von A durch A eine Tautologie darstellt; (2) entspricht der Möglichkeit der klassischen Logik, die Prämissen zu vermehren, ohne die Folgerung zu verändern; (9) ist das ex falso quodlibet; und schließlich entspricht die Metaregel (13) der Kontraposition.

Auch wenn wir schon in der Lage waren, ihn mit der klassischen Logik in Vergleich zu setzen, ist der Eigenschaftskalkül bisher noch nicht ganz vollständig dargestellt; zuvörderst fehlt noch die Behandlung der Schemasätze und der auf diese sich beziehenden Möglichkeiten des Schließens, welche wir nun geben werden. Dabei sei wie zuvor schon alles ausgelassen, was nur in Bezug auf in abstracto denkbare Objekte von Bedeutung ist; dieses wird später gesondert und gebündelt gegeben werden. Ein Elementarsatz lässt sich charakterisieren durch die darin das Subjekt bildende endliche Menge an Eigenschaften, welche wir als sein Vorderglied bezeichnen wollen, sein Prädikat, welches eine Implikation, eine disjunktive Implikation, Selbstwidersprüchlichkeit, die Bildung eines bestimmten Objekts oder die eines unbestimmten Objekts ausdrückt, sowie gegebenenfalls die implizierte Eigenschaft oder die disjunktiv implizierte Menge von Eigenschaftsmengen, welche wir sein Hinterglied nennen wollen. Um ein Schema von Elementarsätzen aufzustellen, gehen wir aus von dem Gerüst aus Vorderglied, Prädikat und gegebenenfalls Hinterglied, welches auch einen konkret gegebenen Elementarsatz strukturiert; doch tritt in einem solchen Schema, im Gegensatz zu diesem, an mindestens einer Stelle im Vorder- oder Hinterglied eine freie Variable auf. Darunter verstehen wir einen Platzhalter, der in vorgegebener Weise durch tatsächliche Eigenschaften ersetzt werden kann und derart die einzelnen konkreten Elementarsätze erzeugt, in die sich das Schema auflösen lässt. Eingesetzt werden kann für einen solchen Platzhalter prinzipiell jede gebundene Eigenschaft aus einem Universum; jedoch da es in einem Universum, wie wir unten noch genauer darlegen werden, nur eine endliche Anzahl an essenziell elementaren, das ist nicht durch Relationen darstellbaren (gebundenen) Eigenschaften sowohl als auch Relationen gibt, und typischerweise nur vermittelst einer Relation gebildete Eigenschaften in einem Schemasatz an die Stelle der freien Variablen treten: So wollen wir nur Schemata betrachten, in denen die freie Variable über vermittelst einer Relation gebildete Eigenschaften quantifiziert wird; sodass, wo es doch nötig sein sollte, eine endliche Anzahl an Schemasätzen, in denen jeweils über vermittelst einer anderen Relation gebildete Eigenschaften quantifiziert wird, an die Stelle eines einzelnen treten können, in welchem für die freie Variable alle diese Eigenschaften eingesetzt werden können.

Darüber hinaus aber kann die Menge an Eigenschaften, über welche quantifiziert wird, noch weiter eingeschränkt werden, und zwar anhand einer Bedingung, die erfüllt sein muss, damit eine beliebige vermittelst der gegebenen Relation gebildete Eigenschaft auch tatsächlich für die freie Variable eingesetzt werden darf. Bei der Formulierung dieser Bedingung kann nun doch der Formalismus der klassischen Logik zur Anwendung kommen. Und zwar führen wir die Erfüllung einer solchen Bedingung darauf zurück, dass ein Ausdruck der klassischen Logik den Wert wahr annimmt. Dieser Ausdruck kann mit Konjunktionen, Disjunktionen und Negationen aus Elementarausdrücken gebildet sein, welche von der folgenden Art sein können: der Gleichsetzung zweier Eigenschaften; der Implikation einer Eigenschaft durch eine Eigenschaftsmenge; oder der Angabe der strukturellen Gestalt einer Eigenschaft, das ist der Angabe der elementaren Eigenschaft, in der sie besteht, oder der Relation, vermittelst derer sie gebildet ist, sowie im zweiten Falle möglicherweise zusätzlich der Angabe dieses Charakteristikums für die Argumente der Relation, weiterhin, sofern diese wiederum in Relationen bestehen, möglicherweise auch für deren Argumente, und so fort (diese Zergliederung kann bis zu einem beliebigen Punkte, nicht notwendigerweise bis nur noch Elementareigenschaften übrigbleiben, fortgeführt sein). Alle in diesen Ausdrücken vorkommenden Eigenschaften können in der freien Variablen, den elementaren Eigenschaften des Universums, sowie beliebig aus diesen vermittelst Relationen und inversen Relationen zusammengesetzten Eigenschaften bestehen. Dabei verstehen wir unter einer inversen Relation eine Abbildung, die einer vermittelst einer Relation zusammengesetzten Eigenschaft eines ihrer Argumente, unter Festhaltung aller übrigen Argumente, zuordnet.

Es kann auch mehr als eine freie Variable in einem Schemasatz geben. Ist das der Fall, so ist es sogar möglich, dass in der Bedingung, welche die Eigenschaften einschränkt, die für eine freie Variable eingesetzt werden können, eine andere freie Variable auftritt; jedoch muss dabei eine Hierarchie aller freien Variablen bestehen, indem in der Bedingung einer freien Variablen nur solche vorkommen, die von höherer Ordnung sind. Eine einzelne freie Variable kann nur im Vorderglied, nur im Hinterglied oder in beiden auftreten. Wenn das Prädikat die gewöhnliche Implikation ist, besteht das Hinterglied nur in einer einzigen Eigenschaft, welche eine elementare Eigenschaft, eine freie Variable oder eine aus elementaren Eigenschaften und freien Variablen beliebig vermittelst Relationen gebildete Eigenschaft ist. Im Falle eine disjunktiven Implikation hingegen ist das Hinterglied eine Menge von Eigenschaftsmengen; und das Vorderglied besteht ohnehin immer in einer Menge von Eigenschaften und nicht einer Eigenschaft; die Behandlung des Vorderglieds und des Hinterglieds im Falle einer disjunktiven Implikation stellt sich deshalb etwas komplizierter dar, indem wir einen Mechanismus angeben müssen, wie sich Mengen in den jeweiligen Instanzen eines Schemas ausprägen. Enthält das Vorderglied oder das Hinterglied keine freien Variablen, so können wir es jeweils explizit als Aufzählung konkreter Eigenschaften angeben; schwieriger wird es nur dann, wenn freie Variablen in einem Glied auch tatsächlich auftreten. Betrachten wir zunächst das Vorderglied. Die Eigenschaftsmenge, welche es bildet, kann aus einer festen Zahl von Elementen bestehen, welche jeweils, wie die einzelne Variable, die das Hinterglied darstellt im Falle einer gewöhnlichen Implikation, eine elementare Eigenschaft, eine freie Variable oder eine beliebig vermittelst Relationen daraus zusammengesetzte Eigenschaft darstellen können. Es ist jedoch auch möglich, dass die Anzahl an Elementen variabel ist und von der freien Variablen abhängt. Wenn dies der Fall ist, so benötigen wir zur Angabe der Menge eine Quantifizierung über weitere Variablen, welche wir als halbfreie bezeichnen wollen, da sie nur in Bezug auf die Menge, nicht aber den ganzen Schemasatz frei auftreten. Diese halbfreien Variablen können, und müssen es sogar, in genau derselben Weise durch eine Bedingung eingeschränkt werden wie die freien Variablen, die sich auf den gesamten Satz beziehen; in dieser Bedingung können jedoch die freien Variablen als Parameter auftreten. Die Menge, welche das Vorderglied eines Schemasatzes darstellt, kann nun als Vereinigung folgender endlicher Mengen gegeben werden: Einerseits einer Menge explizit gegebener Eigenschaften, die aus elementaren Eigenschaften und freien Variablen beliebig vermittelst Relationen zusammengesetzt sein können; und andererseits Mengen, die entstehen, indem in einem festen, eine Eigenschaft darstellenden Ausdruck, der aus elementaren Eigenschaften, freien Variablen und halbfreien Variablen gebildet sein kann, welche beliebig vermittelst Relationen zusammengesetzt werden können, die halbfreien Variablen in jeder möglichen Weise belegt werden, wobei jede Belegung ein Mengenelement erzeugt. Nach dem gleichen Prinzip kann auch das Hinterglied einer disjunktiven Implikation angegeben werden, nur dass hier die Elemente der Menge selbst Eigenschaftsmengen sind: Wieder lässt sich die Menge als Vereinigung explizit angegebener Elemente (welche jedoch jeweils von der freien Variablen abhängen können) und Mengen, die durch Quantifizierung über eine halbfreie Variable entstehen, ansehen. Die einzelnen dabei als Elemente auftretenden Eigenschaftsmengen können selbst wieder nach dem beschriebenen Prinzip gebildet sein, das ist unter Zuhilfenahme einer Quantifizierung über eine halbfreie Variable. Steht eine solche Eigenschaftsmenge im Einflussbereich einer die Elemente der übergeordneten Menge erzeugenden halbfreien Variablen, so ist die sie selbst erzeugende halbfreie Variable dieser untergeordnet, das ist ihre Bedingung kann diese (sowie freie Variablen) enthalten aber nicht umgekehrt. Darüber hinaus können in allen bisher erwähnten Ausdrücken für Eigenschaften Relationen mit variabler Argumentenzahl vorkommen. Die Menge von deren Argumenten kann von allen freien und halbfreien Variablen abhängen, in deren Einflussbereich sie stehen, und kann wiederum nach dem beschriebenen Prinzip gebildet sein, wobei die dabei zum Einsatz kommende halbfreie Variable all jenen untergeordnet ist.

Alle auf die beschriebene Weise gebildeten Mengen, seien es die Eigenschaftsmenge des Vorderglieds, die Eigenschaftsmengen, die Elemente des Hinterglieds sind, deren Menge, sowie die Menge der Argumente einer Relation, müssen endlich sein. Dies bedeutet, dass die Anzahl an Eigenschaften, welche die Bedingung für die halbfreien Variablen erfüllen, jeweils endlich sein muss. Es muss dem Verstande vermittelst Induktion über die möglichen freien Variablen erkennbar sein, dass für jede mögliche Belegung der freien Variablen die möglichen Belegungen der halbfreien Variablen von endlicher Zahl sind. Eine solche Induktion über Eigenschaften kann geführt werden, da es in einem Universum nur endlich viele essenziell elementare Eigenschaften und Relationen gibt und jede mögliche (gebundene) Eigenschaft entweder elementar ist oder vermittelst Relationen aus elementaren Eigenschaften zusammengesetzt ist, sodass sich über diesen Aufbau induzieren lässt.

Als ein Beispiel geben wir zwei Schemasätze im Universum der natürlichen Zahlen, die dort zur Definition der Eigenschaft, kleiner als eine andere Zahl zu sein, sowie der Primzahleigenschaft dienen können. Für erstere brauchen wir zwei Relationen: die Relation N der Nachfolgerbildung, welche als einziges Argument entweder eine durch N selbst gebildete Eigenschaft oder die elementare Eigenschaft E, eins zu sein, besitzen kann, und welche der Eigenschaft, eine bestimmte natürlich Zahl zu sein, diejenige zuordnet, ihr Nachfolger zu sein; und die Relation K, welche der Eigenschaft, eine bestimmte natürliche Zahl zu sein, diejenige zuordnet, kleiner als sie zu sein, und welche nur vermittelst der Relation N gebildete Eigenschaften als Argument haben kann. Wir können nun einen Schemasatz mit zwei freien Variablen x und y aufstellen: x läuft über alle vermittelst N gebildete Eigenschaften; y läuft ebenso über diese, jedoch mit der zusätzlichen Einschränkung, dass folgende Bedingung erfüllt ist: eine Disjunktion der Ausdrücke, dass y gleich dem Inversen von N ist, sowie dass y die Eigenschaft impliziert, die in K vom Inversen von N von x besteht. Das Vorderglied des Schemasatzes besteht nun schlicht in y, das Prädikat ist die Implikation, und das Hinterglied ist K von x. In natürlicher Sprache wäre die Aussage dieses Schemasatzes: Eine natürliche Zahl y ist kleiner als eine natürliche Zahl x, wenn y der Vorgänger von x oder kleiner als der Vorgänger von x ist.

Für die Formulierung des zweiten Schemasatzes benötigen wir die oben eingeführten Relationen K und N, die Relation U, welche der Eigenschaft, eine natürliche Zahl zu sein, diejenige zuordnet, durch diese unteilbar zu sein, und schließlich die elementare Eigenschaft P, prim zu sein. Der Schemasatz besitzt nun nur eine freie Variable x, die über alle vermittelst N gebildeten Eigenschaften läuft. Das Prädikat ist wieder die Implikation, und das Hinterglied besteht in P. Das Vorderglied enthält x, aber nicht allein, sondern es enthält auch eine vermittelst Quantifizierung über die halbfreie Variable y gebildete Menge von Eigenschaften. Diese läuft über die vermittelst N gebildeten Eigenschaften, welche die Bedingung erfüllen, ungleich E zu sein und K von x zu implizieren; und fügt dem Vorderglied jeweils die Eigenschaft U von y hinzu. In natürlicher Sprache entspräche dies: Eine natürliche Zahl x ist Primzahl, wenn sie durch alle natürlichen Zahlen außer eins, die kleiner als x sind, nicht teilbar ist.

Induktiv nachzuweisen, dass in diesem Schemasatz die Menge von Eigenschaften im Vorderglied stets endlich ist, ist nicht schwierig: Der Induktionsanfang ist trivial, und der Induktionsschritt lässt sich vollziehen, indem man zeigt, dass für N von x die Menge an Eigenschaften im Vorderglied endlich ist unter der Voraussetzung, dass sie dies für x ist; letzteres lässt sich beweisen, indem man unter Verwendung des ersten Schemasatzes zeigt, dass für natürliche Zahlen x größer als zwei die Menge der Zahlen, die kleiner als der Nachfolger von x sind und nicht eins sind, sich aufspalten lässt in die Menge, die aus x besteht, und die Menge der Zahlen, die kleiner als x und nicht eins sind, welche beide endliche Mengen sind.

Wir nehmen an, dass der Verstand stets in der Lage ist, aus der unendlichen Menge an Elementarsätzen, in die sich Schemasätze auflösen lassen, denjenigen auszusondern, der ihm nötig ist, wenn er aus den schon gegebenen Prämissen und diesem eine konkrete Ableitung vermittelst der oben gegebenen Schlussregeln führen will. Da sich alle diese Elementarsätze nacheinander aufzählen lassen, können wir uns vorstellen, dass er sie schlicht nacheinander durchläuft, bis er auf den passenden trifft; welches Verfahren, wenn der Schemasatz überhaupt auf einen bestimmten Fall anwendbar ist, in endlich vielen Schritten zum Ziel führen muss und somit für den Verstand durchführbar ist. Es gibt keine Schlussregeln, vermittelst derer sich Schemasätze aus Prämissen ableiten ließen; das bedeutet, dass sie stets der Anschauung entspringen müssen.

Nun wollen wir darlegen, wie die gegebenen Schlussregeln es ermöglichen, auf den eingeführten Arten von Sätzen Ableitungen derart zu führen, dass die oben als dem Verstande notwendig erreichbar angesetzte Erkenntnis über das geistig Seiende auch tatsächlich erlangt werden kann; und welcher Voraussetzungen, das ist anfänglich, vor jedem logischen Schluss schon bestehender Prämissen es bedarf, damit dieses Unterfangen Erfolg haben kann. Zunächst müssen wir einschränken, dass sich das logische Schließen, wie schon oben bemerkt, auf die gebundenen Eigenschaften beschränkt, und dass es sich stets im wohlgegründeten System eines Universums abspielt; wiewohl es auch gewisse universumsübergreifende Elemente besitzen kann, auf die wir in Kürze kommen werden. Ob ein durch eine Eigenschaftsmenge definiertes und dann vom Verstande für bestimmt befundenes Objekt eine gewisse ungebundene Eigenschaft besitzt oder nicht, das kann er nur vermittelst der Anschauung allein erkennen; es sei denn, eine gebundene Version dieser ungebundenen Eigenschaft existiert in diesem Universum, in welchem Falle er nur zu überprüfen braucht, ob es diese besitzt oder nicht.

Führen wir uns zunächst das Inventar eines konkreten Universums vor Augen: Es besitzt eine Reihe von Elementareigenschaften und Relationen mit einer jeweils eigenen Signatur, welche sich in reelle und virtuelle aufteilen, wobei letztere keine Eigenschaften bilden, sondern nur Eingaben für andere Relationen zur Verfügung stellen. Es kommt häufig vor, dass das Denken eine Eigenschaft, die es sich einerseits vermittelst einer Relation zusammengesetzt vorstellt, in einer anderen Hinsicht auch als elementar ansieht; etwa im Universum der natürlichen Zahlen: Der Verstand betrachtet hier in natürlicher Weise die Eigenschaft, der Nachfolger des Nachfolgers von eins zu sein, als in anderer Hinsicht elementar, nämlich die Zahl drei zu sein. Doch sind derartige elementare Eigenschaften, welche bei der Behandlung des logischen Schließens als bloße Stellvertreter einer vermittelst einer Relation gebildeten Eigenschaft angesehen werden können, im gegenwärtigen Zusammenhang bedeutungslos. Hier sind wichtig allein die essenziell elementaren Eigenschaften, das ist solche, die sich nicht als vermittelst eines Relationskonstrukts gebildet ansehen lassen, in dem sie nicht selbst vorkommen. Beispielsweise sind im Universum der natürlichen Zahlen, wie wir es oben beschrieben haben, die Eigenschaften, eins zu sein und prim zu sein essenziell elementar. Zwar lässt sich eine zur Eigenschaft, eins zu sein, ontologisch identische Eigenschaft vermittelst Relationen bilden, etwa kleiner als der Nachfolger von eins zu sein; doch tritt hierin diese Eigenschaft selbst wieder auf. Entscheidend ist, dass eine essenziell elementare Eigenschaft nicht aus anderen elementaren Eigenschaften vermittelst Relationen zusammengesetzt vorgestellt werden kann. Wir setzen voraus, dass der Verstand die Begriffe und Gesetzmäßigkeiten eines konkreten Universums vollständig erfassen kann. Dies bringt es mit sich, dass sowohl die Anzahl der essenziell elementaren Eigenschaften als auch der Relationen in einem Universum endlich sein muss; aus diesen Bausteinen kann dann alles andere zusammengesetzt werden.

Wie oben schon bemerkt können gebundene Eigenschaften eines Universums auch ursprünglich aus einem anderen stammen, indem eine Relation dieses Universums sie ungebunden macht, worauf diese wiederum vermittelst einer Relation in jenes eingebunden wird. Noch häufiger jedoch ist es, dass eine solche Eigenschaft aus einem anderen Universum nur virtuell in ein Universum eingebunden wird, das ist nur als Argument von Relationen des gewöhnlichen Typs, die dann erst eigentliche Eigenschaften bilden. In beiden Fällen kann der Verstand im Laufe einer logischen Deduktion nicht nur auf die Gesetzmäßigkeiten des Universums zurückgreifen, in welchem er diese führt, sondern auch – in einer Weise, die noch genauer zu beschreiben sein wird – auf diejenigen des anderen Universums. Man könnte auch fragen, ob es überhaupt sinnvoll sei, von zwei getrennten Universen zu sprechen, wenn Eigenschaften in dieser Weise aus dem einen auch in das andere eingebunden sind, und man sich nicht vielmehr beide in einem einzigen Universum vereinigt vorstellen sollte. Binden zwei Universen gegenseitig Eigenschaften des jeweils anderen in eigentlicher Weise ein, so liegt dies tatsächlich nahe, und es muss ein schwerwiegender Grund inhaltlicher Art bestehen, damit es sich der Anschauung aufdrängt, dass die von ihr betrachteten Eigenschaften zwei verschiedene Sätze von Ureigenschaften implizieren, das ist in zwei verschiedene Universen eingeordnet werden müssen. Anders verhält es sich hingegen, wenn die Übernahme von eigentlichen Eigenschaften nur in einer Richtung geschieht, oder wenn Eigenschaften überhaupt nur virtuell eingebunden werden; dann ist es im Gegenteil so, dass die Anschauung viel eher geneigt sein wird, die entsprechenden Eigenschaften in zwei verschiedene Universen zu scheiden, und nur ein guter inhaltlicher Grund sie davon abbringen kann.

In jedem Universum muss es gewisse Axiome geben, das ist Elementar- und Schemasätze, welche allein der Anschauung entspringen und von denen das logische Schließen erst seinen Ausgang nimmt. Mehr noch, wir stellen an diese Axiome die Forderung, dass sie hinreichend dafür sind, den Wahrheitsgehalt eines beliebigen überhaupt in ein Verhältnis zur Wahrheit setzbaren Satzes vermittelst der Logik abzuleiten; das ist sobald die Anschauung ihren Teil mit der Aufstellung der Axiome getan hat, braucht zur Erreichung dieses Ziels ausschließlich der logische Schluss zum Zuge zu kommen. Wir unterscheiden zwei Arten von Axiomen: Definitionen und Basisaxiome.

Definitionen setzen eine konkrete Eigenschaft in Beziehung zum System aller anderen Eigenschaften. Sie treten in zwei Formen auf: als unbedingte und als bedingte Definitionen. Unter einer unbedingten Definition einer Eigenschaft E verstehen wir eine Sammlung von als wahr gedachten Sätzen von der folgenden Art: Einerseits impliziert E disjunktiv eine Reihe von Eigenschaftsmengen; andererseits impliziert jede dieser Eigenschaftsmengen E. Das ist eine solche Definition besagt, dass ein Objekt E genau dann besitzt, wenn es mindestens eine der besagten Eigenschaftsmengen besitzt; in dem Spezialfall genau einer Eigenschaftsmenge heißt das, dass E gleichbedeutend mit dieser Menge von Eigenschaften ist. Wichtig ist hier, dass entsprechend dem Charakter der disjunktiven Implikation vermittelst einer unbedingten Definition die Frage, ob eine Eigenschaft einem Objekt zukomme, auf endlich viele andere Fragen dieser Art zurückgeführt wird, welche auch ein endlicher Verstand allesamt zu überprüfen vermag. Allerdings gelingt es nicht für alle Eigenschaften, sie derart in absoluter Weise auf eine endliche Disjunktion endlicher Eigenschaftsmengen zurückzuführen; beispielsweise müsste man die Eigenschaft, durch drei teilbar zu sein, darauf zurückführen, eines der Vielfachen von drei zu sein, welches aber unendlich viele sind; oder die Eigenschaft, prim zu sein, darauf, entweder zwei und durch alle natürlichen Zahlen außer eins und zwei unteilbar zu sein, oder drei und durch alle Zahlen außer eins und drei unteilbar zu sein, und so fort, womit sogar eine unendliche Disjunktion unendlicher Eigenschaftsmengen nötig wäre. In solchen Fällen lässt sich der endliche Charakter der Rückführung einer Eigenschaft nur in Form bedingter Definitionen bewahren. Darunter verstehen wir eine Sammlung von als wahr gedachten Schemasätzen, deren einzelne Elementarsätze eine ähnliche Struktur wie diejenigen aufweisen, in denen eine unbedingte Definition besteht, mit dem einzigen Unterschied, dass im Vorderglied sowohl der Hin- als auch der Rückrichtung weitere Eigenschaften hinzugefügt sind, welche sich im Zuge des Schemas jeweils ändern. Das ist wenn X eine Menge von Eigenschaften darstellt, die von freien Variablen eines Schemas abhängt, das ist in jedem der Elementarsätze, in die sich ein Schemasatz auflösen lässt, andere Eigenschaften enthält: Dann besteht eine bedingte Definition der Eigenschaft E in einem Schemasatz, der besagt, dass E und die Eigenschaften aus X eine Menge von Eigenschaftsmengen, welche von den freien Variablen des Schemas abhängen kann, disjunktiv implizieren, und in Schemasätzen, die besagen, dass die Vereinigung von X mit jeder dieser Eigenschaftsmengen jeweils E impliziert; wobei die freien Variablen und die sie einschränkenden Bedingungen sowohl als die Bildung der Menge X in allen diesen Schemasätzen identisch sein müssen. Eine bedingte Definition lässt sich also als eine unbedingte Definition betrachten, die von einem Parameter abhängt; das ist zum Besitz welcher Eigenschaften es für ein Objekt äquivalent ist, eine Eigenschaft E zu haben hängt noch davon ab, welche aus einer Menge dritter Eigenschaften ein Objekt besitzt. Wir nehmen dabei an (welche Annahme wir unten noch genauer behandeln werden), dass alle Eigenschaftsmengen X, die als Parameter fungieren können, sich gegenseitig antiimplizieren, das ist ein Objekt höchstens eine davon besitzen kann; und weiterhin, dass auch jedes bestimmte Objekt eine der Eigenschaftsmengen X besitzt, oder zumindest jedes Objekt, für welches dies nicht gilt, eine Eigenschaft besitzt, die E antiimpliziert.

In einem Universum muss jede einzelne gebundene Eigenschaft, abgesehen von einer Menge von Eigenschaften, die wir als Basiseigenschaften bezeichnen, entweder durch eine unbedingte oder eine bedingte Definition in Beziehung zu den übrigen Eigenschaften gesetzt werden. In Universen, in denen es unendlich viele Eigenschaften gibt, weil sich Relationen darin beliebig verschachteln lassen (ist das nicht der Fall, so kann man einem Universum eine gewisse Trivialität nicht ganz absprechen), kann dies nur durch Rückgriff auf Schemasätze gelingen; wobei für unbedingt definierbare Eigenschaften das Schema nur über verschiedene zu definierende Eigenschaften läuft und jede sich aus dem Schema ergebende, die Hin- und Rückrichtung abdeckende Sammlung von Elementarsätzen eine unmittelbare Definition einer Eigenschaft bietet, wohingegen bei nur bedingt definierbaren Eigenschaften das Schema sowohl über die zu definierenden Eigenschaften als auch die Parametereigenschaftsmenge läuft. Es muss der Anschauung vermittelst Induktion über alle Universumseigenschaften ersichtlich sein, dass alle Definitionen einzelner Eigenschaften und die schematischen Definitionen unendlich vieler Eigenschaften zusammengenommen alle Eigenschaften des Universums bis auf die Basiseigenschaften abdecken.

Wenn man von dem speziellen Fall absieht, dass eine Eigenschaft E dadurch definiert wird, dass sie eine Eigenschaft E’ impliziert und diese umgekehrt E impliziert, was bedeutet, dass sie ontologisch identisch sind, so stellt die Definition einer Eigenschaft E durch eine Menge von anderen Eigenschaften (die Vereinigung aller Eigenschaftsmengen, die E disjunktiv impliziert) immer eine Hierarchie zwischen E und diesen Eigenschaften her, indem E auf diese zurückgeführt wird. Wir müssen nun zusätzlich zu der vollständigen Abdeckung der Universumseigenschaften durch Definitionen fordern, dass diese Definitionshierarchie erstens transitiv oder zirkelfrei ist und darüber hinaus nach unten beschränkt. Unter ersterem ist zu verstehen, dass wir, wenn wir von E ausgehend die Definitionshierarchie in allen ihren Zweigen nachverfolgen, das ist von E zu den Eigenschaften fortschreiten, auf die sich E zurückführen lässt, diesen Schritt für diese Eigenschaften selbst wiederholen und so fort, niemals auf E selbst treffen; und unter letzterem, dass es keine unendlich absteigenden Ketten von Eigenschaften in der Definitionshierarchie geben kann. Mit einem Wort, die Definitionsbeziehungen in einem Universum müssen derart beschaffen sein, dass man, wenn man von einer beliebigen Eigenschaft E ausgehend jeden Zweig des Definitionsbaums nachverfolgt, stets nach endlich vielen Schritten auf eine Basiseigenschaft trifft. Im Falle von nur bedingt definierbaren Eigenschaften muss das für jede einzelne Belegung des Parameters gelten. Weiterhin hatten wir bei der Einführung der Schemasätze davon gesprochen, dass in den Bedingungen für die freien und halbfreien Variablen auch Ausdrücke vorkommen können, die in der Implikation einer Eigenschaft durch eine Eigenschaftsmenge bestehen. Solche dürfen in der Bedingung der freien Variablen, die über die jeweils definierten Eigenschaften läuft, gar nicht vorkommen; in den Bedingungen für alle anderen freien und halbfreien Variablen können nur solche Ausdrücke auftreten, die keine Eigenschaften enthalten, welche in der Definitionshierarchie über der zu definierenden Eigenschaft stehen; und es darf auch hier keinen infiniten Regress geben, das ist wenn man von den in einem solchen Ausdruck vorkommenden Eigenschaften übergeht zu denen, die in deren Definition in den Bedingungen für die freien und halbfreien Variablen auftreten und so fort, so muss jede dieser Ketten irgendwo abbrechen, das ist in der Definition einer Eigenschaft kommen derartige Ausdrücke gar nicht mehr vor oder es handelt sich um eine Basiseigenschaft. Es ist sogar möglich, dass die Bedingung für freie oder halbfreie Variablen, die in virtuellen Relationen bestehen, welche aber aus einem anderen Universum eingebunden sind, in welchem sie echte Eigenschaften darstellen, Implikationen zwischen diesen Eigenschaften in dem anderen Universum als Ausdrücke enthält; doch dürfen auch in diesem Falle keine zirkelhafte Abhängigkeit und kein infiniter Regress entstehen. Schließlich müssen wir noch fordern, dass alle in einer Definition auftretenden endlichen Eigenschaftsmengen und Mengen von Eigenschaftsmengen, die durch eine halbfreie, durch eine Bedingung eingeschränkte Variable gebildet werden, das ist das Vorder- und Hinterglied eines Satzes sowie Menge der Argumente der Relationen mit variabler Argumentenzahl, die darin vorkommen, sich durch den endlichen Verstand aufzählen lassen; das ist dass es für diesen durch Induktion erfassbar ist, dass die Bedingung ab einem bestimmten Punkt nicht mehr erfüllt werden kann und die Menge somit vollständig ist.

Wieder muss es der Anschauung induktiv ersichtlich sein, dass alle genannten Voraussetzungen für alle Eigenschaften gelten; die nötige Induktion kann wie üblich im Rahmen der Relationshierarchie geführt werden und muss im Falle der bedingten Definitionen gegebenenfalls doppelt, sowohl über die definierte Eigenschaft als auch den Parameter, angesetzt werden.

Da wir bis hierhin schon mehrfach auf diese induktive Ersichtlichkeit, vermittelst derer die Anschauung ein Verhältnis als für unendlich viele Instanzen eines Schemas gültig erkennt, in verschiedenen Zusammenhängen zurückgegriffen haben und dies auch im Folgenden noch einige Male tun werden, sei dazu an dieser Stelle eine kurze Erläuterung eingeschoben. Es handelt sich bei den für einen solchen induktiven Beweis nötigen Schritten, anders als es vielleicht scheinen mag, nicht um einen Teil unseres logischen Kalküls. Doch auch der Metasprache können wir sie nicht im eigentlichen Sinne zuordnen. Es handelt sich vielmehr um einen Bestandteil des Anschauens durch den Verstand, welches sich nur in induktiver Form eine Vorstellung von der Richtigkeit eines Verhältnisses in unendlich vielen Fällen machen kann; denn das induktive Fortschreiten stellt den Urbegriff dar, den die Anschauung von der abzählbaren Unendlichkeit hat. Wenn wir nun fordern, dass wir für ein Schema ein nötiges, sich über alle unendlich vielen Instanzen erstreckendes Verhältnis im Rahmen eines formalen Induktionsbeweises nachweisen können, so stellen wir diese Forderung nur deshalb, weil wir um die Unzulänglichkeit des tatsächlich existierenden Verstandes, auch was sein Anschauen betrifft, wissen, und deshalb vermittelst der Aufgliederung in einzelne formale Schritte sicherzustellen suchen, dass er nicht irrt; dem idealen Verstande muss das induktive Fortschreiten durch alle Instanzen und die Gültigkeit eines Verhältnisses unter diesem Vorgang unmittelbar anschaulich sein, ohne dass er dabei irren könnte. Man könnte auch die Frage stellen, wie es sich mit Fällen verhalte, in denen es nicht gelingt, einen induktiven Beweis dafür zu führen, dass etwa das Vorderglied eines Satzes in jeder Instanz eines Schemas nur endlich viele Elemente enthält, oder dass jede durch einen Schemasatz definierte Eigenschaft sich in endlich vielen Schritten auf Basiseigenschaften zurückführen lässt. Zwar lassen sich zweifellos Schemasätze formal niederschreiben, in denen es schwerfällt, ersteres zu beweisen, doch können sie nicht von der Anschauung zum Gegenstande einer Aussage gemacht, das ist in einen Bezug zur Wahrheit gesetzt werden, wenn diese nicht zugleich schon die Endlichkeit des Vorderglieds induktiv ersieht. Was den zweiten genannten Fall einer Notwendigkeit eines Induktionsbeweises angeht, so kann der Verstand zwar Schemasätze, für die sich etwa nicht induktiv beweisen lässt, dass sie keine zirkelhafte Definition konstituieren, prinzipiell durchaus zum Gegenstande von Aussagen machen; aber er kann ein Universum gar nicht erst denken, für das er nicht von vornherein induktiv zu erkennen vermag, dass jede Eigenschaft darin bis auf die Basiseigenschaften sich zirkelfrei definieren lässt.

Soviel zur induktiven Erkenntnis durch die Anschauung. Wenden wir uns nun der näheren Betrachtung der Basiseigenschaften und der mit diesen verknüpften Basisaxiome zu. Wir hatten erstere bisher als diejenigen Eigenschaften eingeführt, die keiner Definition bedürfen, vielmehr den Endpunkt jeder Definitionskette darstellen. Solche müssen in einem Universum unbedingt vorhanden sein, da sonst alle Eigenschaften darin sich nur entweder zirkulär oder durch infiniten Regress definieren ließen; wir müssen aber annehmen, dass die Anschauung es vermag, jeder Eigenschaft in einem Universum durch eine echte, das ist zu einem legitimen Endpunkt, eben den Basiseigenschaften führende Definition im Gefüge der Eigenschaften ihren Platz zuzuweisen; wohingegen zirkelhafte oder auf infinitem Regress basierende Definitionen in Wahrheit Scheindefinitionen sind. Die Basiseigenschaften können eine endliche, genauso gut aber auch unendliche Menge bilden, welche, wie alle Eigenschaftsmengen in einem Universum überhaupt, höchstens abzählbar ist. Hervorzuheben ist, dass das Charakteristikum einer Eigenschaft, elementar zu sein, a priori nichts mit jenem zu tun hat, zu den Basiseigenschaften zu gehören; es können sich ebenso vermittelst Relationen zusammengesetzte Eigenschaften unter diesen finden wie es elementare Eigenschaften geben kann, die definiert werden müssen. Etwa sind in dem schon mehrfach als Beispiel bemühten Universum der natürlichen Zahlen die Basiseigenschaften die Eigenschaften, die einzelnen natürlichen Zahlen darzustellen, welche bis auf die Eins vermittelst der Nachfolger-Relation zusammengesetzt sind; wohingegen die elementare Eigenschaft, prim zu sein, definiert wird. Wir fordern von den Basiseigenschaften, dass sie eine minimale, nicht redundante Basis darstellen, das ist dass unter ihnen keine Implikationen bestehen können. Dies bedeutet, dass kein Satz als wahr gedacht werden kann, der darin besteht, dass eine Menge von Basiseigenschaften eine andere, nicht in der Menge enthaltene Basiseigenschaft impliziert, es sei denn, dass diese Menge selbstwidersprüchlich ist. Es folgt daraus, dass zwei verschiedene Mengen von Basiseigenschaften stets zwei verschiedene Objekte definieren, da sonst jede Eigenschaft der jeweils anderen Menge durch die eine impliziert werden müsste. Ebenso folgt, dass für jede ein Objekt definierende Menge von Basiseigenschaften dieses Objekt auch nur genau diese von den Basiseigenschaften besitzt und alle anderen seiner Eigenschaften nicht zu diesen gehören. Überdies fordern wir aber auch, dass die Basiseigenschaften eine vollständige Basis eines Universums darstellen, das ist dass jedes darin vorkommende Objekt sich nur anhand von Basiseigenschaften definieren lässt.

Damit die Strukturen und Verhältnisse auf der Ebene der Basiseigenschaften dem logischen Schließen zur Verfügung stehen, müssen der Anschauung gewisse Axiome, welche diese zum Gegenstande haben, eben die schon genannten Basisaxiome, entspringen. Anders als durch die Anschauung können diese Strukturen nicht gegeben sein, da auf den Basiseigenschaften die Grundvoraussetzung für den logischen Schluss, das Implikationsverhältnis zwischen Eigenschaften, nicht gegeben ist. Diese Basisaxiome müssen für eine beliebige (endliche) Menge M von Basiseigenschaften festlegen, ob diese selbstwidersprüchlich ist, ein bestimmtes Objekt definiert oder ein unbestimmtes; und für eine beliebige Menge N von Basiseigenschaftsmengen, ob M diese disjunktiv impliziert oder nicht. Da keine Implikation unter Basiseigenschaften besteht (außer im Falle selbstwidersprüchlicher Mengen), braucht es tatsächlich auch nicht mehr. Definiert M ein bestimmtes Objekt, so antiimpliziert es alle anderen Basiseigenschaften, das ist die Vereinigung aus M und nicht zu M gehörenden Basiseigenschaften ist selbstwidersprüchlich; definiert M ein unbestimmtes Objekt, so gilt das nicht, aber es lässt sich nach Voraussetzung für eine beliebige Menge an anderen Basiseigenschaften überprüfen, ob die Vereinigung aus M und M’ selbstwidersprüchlich ist. Damit ist festgelegt, welche Basiseigenschaften untereinander unvereinbar sind, weil sie ein Objekt in derselben Hinsicht unterschiedlich ausprägen; und in welchen Hinsichten ein Objekt überhaupt ausgeprägt sein muss, um bestimmt zu sein. Auch wenn es keine gewöhnliche Implikation auf den Basiseigenschaften geben kann, so doch immer noch eine disjunktive; was dann der Fall ist, wenn ein Objekt sich in einer bestimmten Hinsicht nur in endlich vielen Weisen ausprägen kann. Deshalb muss auch eine vorhandene disjunktive Implikation aus den Basisaxiomen hervorgehen.

In Schemasätzen und Elementarsätzen lassen sich diese Anforderungen wie folgt umsetzen. Für die Aussage, dass es keine Implikation unter Basiseigenschaften gibt, müssen wir eine einmalige Ausnahme von den oben gegebenen Einschränkungen der Möglichkeiten zur Schemabildung machen und hier nun einen Schemasatz zulassen, bei dem für das Vorderglied alle möglichen endlichen Basiseigenschaftsmengen eingesetzt werden können, die nicht selbstwidersprüchlich sind, und für das Hinterglied alle Basiseigenschaften, mit der Implikation als Prädikat; welcher als falsch gedacht wird, das ist jede einzelne Instanz des Schemas ist falsch. Um hingegen sicherzustellen, dass für jede beliebige Menge von Basiseigenschaften festgelegt ist, ob sie selbstwidersprüchlich ist und falls nicht welche Art von Objekt sie definiert, bedarf es einer solchen Ausnahme hingegen nicht, wenn wir die Ableitungsregel (15) hinzunehmen, dass eine Menge von Eigenschaften selbstwidersprüchlich ist, wenn dies schon auf eine ihrer Teilmengen zutrifft; denn damit eine Eigenschaftsmenge entweder ein bestimmtes oder ein unbestimmtes Objekt definiert, muss eine solche immer schon eine besondere Struktur haben, die sich durch ein Schema abbilden lässt, während die große Mehrheit der Eigenschaftsmengen, die keine Struktur aufweisen, selbstwidersprüchlich ist, was aber dadurch aufgefangen wird, dass es ausreicht einige charakteristische selbstwidersprüchliche Kombinationen mit einem diese Selbstwidersprüchlichkeit ausdrückenden Schemasatz abzudecken und für alle anderen, die eine solche nur als Teilmenge enthalten, dann besagtes Prinzip (15) zum Tragen kommt. Dass die Basiseigenschaftsmenge M die Menge N von Basiseigenschaftsmengen disjunktiv impliziert für beliebige M und N, auf die dieses Verhältnis denn zutrifft, lässt sich ebenfalls mit gewöhnlichen Schemasätzen ausdrücken, wenn man die Regeln (2) und (4) hinzunimmt, wonach die Beziehung der disjunktiven Implikation bestehen bleibt, wenn man M oder N um weitere Elemente vermehrt, indem hier wieder der Schemasatz nur charakteristische Kombinationen von Eigenschaften angibt, auf die sich alle anderen mit (2) und (4) zurückführen lassen. Es muss dann aber für alle M und N, für welche keine disjunktive Implikation besteht, eine Eigenschaftsmenge M’ geben, sodass aus den die Selbstwidersprüchlichkeit festlegenden Axiomen hervorgeht, dass die Vereinigung aus M und M’ nicht selbstwidersprüchlich ist, während die Vereinigung von M’ mit jedem der Elemente aus N es jeweils ist; was gemäß der kontraponierten Regel (12) gleichbedeutend damit ist, dass M die Menge N nicht disjunktiv impliziert.

Wenn nun dem Verstande eine beliebige Menge von Basiseigenschaften vorgegeben ist, so kann er jede einzelne Teilmenge von M nacheinander darauf überprüfen, ob ihre Selbstwidersprüchlichkeit von einer Instanz eines Schemasatzes ausgesagt wird. Es muss dabei aus der Gestalt der Bedingung des Schemas hervorgehen, wenn diese ab einem bestimmten Punkt (in der Abfolge der nach Zusammensetzungsgrad geordneten Eigenschaften) nicht mehr erfüllt sein kann. Kann keiner der Schemasätze solch eine Selbstwidersprüchlichkeit aussagen, so kann der Verstand fortschreiten und überprüfen, ob in einem der Schemasätze eine Instanz aussagt, dass M ein unbestimmtes Objekt ist; und kann das keiner leisten, so muss zumindest einer aussagen, dass M ein bestimmtes Objekt definiert. Ähnlich verfährt er in Bezug auf die Frage, ob M eine beliebige Menge N von Eigenschaftsmengen disjunktiv impliziert, falls M nicht selbstwidersprüchlich ist (sonst gilt jede Implikation trivialerweise), indem er jeweils für Teilmengen von M und N überprüft, ob die disjunktive Implikation durch einen Schemasatz ausgesagt wird; ist dies nicht der Fall, so muss er gemäß obiger Forderung beim Durchlaufen aller (endlichen) Mengen von Eigenschaften (welche abzählbar sind) eine solche Menge M’ finden, dass sich mit (12) ableiten lässt, dass es falsch ist, dass M die Menge N disjunktiv impliziert.

Wie zuvor muss die Erfüllung der genannten Anforderungen der Anschauung induktiv ersichtlich sein; da die endlichen Teilmengen einer abzählbaren Menge abgezählt werden können, kann eine solche Induktion in der Tat geführt werden.

Als ein Beispiel wollen wir ein Universum, das die geordneten Paare von natürlichen Zahlen enthält, betrachten; welches die Eigenschaft, eine bestimmte natürliche Zahl zu sein, virtuell aus dem Universum der natürlichen Zahlen einbindet und dann vermittelst der zwei Relationen, eine solche entweder an erster oder an zweiter Stelle aufzuweisen, eigentliche Eigenschaften daraus bildet; diese seien als die Basiseigenschaften angenommen. Als Basisaxiome können die folgenden, wenn nicht anders angegeben als wahr gedachten Sätze dienen, welche die beschriebenen Anforderungen erfüllen. Wir haben zunächst zwei Schemasätze, deren freie Variable einmal über die erste und einmal über die zweite Relation läuft, welche besagen, dass diese freie Variable ein unbestimmtes Objekt bildet; dann einen Schemasatz mit zwei freien Variablen, die über die beiden Relationen laufen, welcher aussagt, dass diese beiden ein bestimmtes Objekt definieren; schließlich zwei Schemasätze mit jeweils zwei freien Variablen, die jeweils beide über eine der beiden Relationen laufen, mit der Bedingung, dass die zweite freie Variable der ersten ungleich ist, welche besagen, dass diese freien Variablen gemeinsam selbstwidersprüchlich sind. Eine disjunktive Implikation gibt es auf diesen Basiseigenschaften, abgesehen von der trivialen durch selbstwidersprüchliche Mengen, nicht; dass es, wie dementsprechend nötig, für beliebige M und N eine Menge M’ mit den oben gegebenen Charakteristika gibt, ist nicht schwer zu ersehen. Es lässt sich leicht nachweisen, dass damit alle gestellten Voraussetzungen an die Basisaxiome erfüllt sind.

An dieser Stelle sei bemerkt, dass die Unterteilung der Eigenschaften in Basiseigenschaften und abgeleitete Eigenschaften, genau wie diejenige in elementare und zusammengesetzte, nur im Denken, aus ontologischer Perspektive aber nicht existiert; wohingegen gebundene und ungebundene Eigenschaften auch unter dem ontologischen Gesichtspunkte grundsätzlich verschieden sind. Das bedeutet, dass ein Universum prinzipiell durch verschiedene Sätze von Basiseigenschaften und Systeme von Definitionen beschrieben werden könnte, sofern diese denn die notwendigen Voraussetzungen erfüllen, wie wir sie oben angegeben haben; auch wenn das Denken für gewöhnlich eine klare Präferenz für ein solches System hat. Allerdings lässt sich der Nachweis, dass in einem Universum, welches das Denken in zwei derart verschiedenen Weisen beschreibt, im Rahmen beider Beschreibungen dieselben Gesetzmäßigkeiten gelten, allenfalls noch auf der Metaebene führen. Von einem idealen Verstande nehmen wir an, dass was er anschauend begreift immer die wahren Verhältnisse der Dinge widerspiegelt; sodass zwei verschiedene Systeme von Axiomen und Basiseigenschaften für dasselbe Universum, die er aus der Anschauung heraus aufstellt, als äquivalent angenommen werden können. Doch da wir nur den unvollkommenen tatsächlichen Verstand zur Verfügung haben, müssen wir uns vermittelst solcher Nachweise gegen Irrtümer wappnen.

Wir wollen nun annehmen, dass der Verstand, sei es der ideale oder der inideale, vermittelst der Anschauung zu einem System von Basiseigenschaften und Axiomen gelangt ist, welches ein Universum beschreibt und alle benannten Voraussetzungen erfüllt, sowie gegebenenfalls zu einem eben solchen für alle Universen, aus denen in jenes Eigenschaften eingebunden sind; und ein Verfahren entwickeln, das von dieser als fest und unveränderlich angenommenen Grundlage aus jeden in dem Universum formulierbaren Elementarsatz, der sich überhaupt in ein Verhältnis zur Wahrheit setzen lässt, vermittelst des logischen Schließens allein als wahr oder falsch zu bestimmen vermag. Wir werden dies zunächst für den einfacheren Fall tun, in welchem alle Definitionen in einem Universum unbedingt sind, und dann die Verallgemeinerung des gegebenen Verfahrens besprechen, die notwendig wird, wenn auch bedingte vorhanden sind. Tatsächlich stellt sich heraus, dass in ersterem alle formulierbaren Sätze sich auch in ein Verhältnis zur Wahrheit setzen lassen; erst das Vorhandensein bedingter Definitionen bringt es mit sich, dass dies nicht mehr notwendigerweise gilt.

Nehmen wir also an, dass alle Definitionen unbedingt sind und sei eine Eigenschaftsmenge M gegeben. Unser Ziel ist es zunächst, zu bestimmen, ob sie selbstwidersprüchlich ist, ein bestimmtes Objekt definiert oder ein unbestimmtes; in den beiden letzteren Fällen ist dann unser zweites Ziel, für eine gegebene Eigenschaft E zu bestimmen, ob es wahr ist, dass M diese impliziert. Beginnen wir also mit ersterem. Jede der Eigenschaften in M, die keine Basiseigenschaft ist, muss, da sie definiert sein muss, eine jeweils andere Menge von Eigenschaftsmengen disjunktiv implizieren, wobei hier die gewöhnliche Implikation als Spezialfall eingeschlossen ist, welcher darin besteht, dass diese Menge nur ein Element besitzt. Müssen wir, um aus einem Schemasatz abzuleiten, welche Menge von Eigenschaftsmengen eine Eigenschaft disjunktiv impliziert, den Wahrheitsgehalt einer Implikation überprüfen, weil sie in der Bedingung einer halbfreien Variablen vorkommt, so tun wir dies zuerst mit dem hier gegebenen Algorithmus; welche Rekursion, gemäß den gemachten Voraussetzungen, in endlich vielen Schritten zum Ziele führt. Unter Verwendung der Schlussregel (2) können wir nun die Aussagen ableiten, dass M alle von seinen einzelnen Eigenschaften disjunktiv implizierten Mengen von Eigenschaftsmengen jeweils auch selbst disjunktiv impliziert; und unter Verwendung von (1) und (2), folgt zudem, dass M die Basiseigenschaften, die es womöglich enthält, impliziert, was wir als die disjunktive Implikation einer Menge mit einem einelementigen Element interpretieren können. Aus all diesen abgeleiteten Aussagen leiten wir nun mithilfe der mehrfachen Anwendung von (5) eine einzige Aussage ab, die darin besteht, dass M eine Menge P von Eigenschaftsmengen disjunktiv impliziert, welche die Produktmenge aller in den bisher abgeleiteten Aussagen vorkommenden Mengen von Eigenschaftsmengen darstellt; das ist jede Eigenschaftsmenge in P ist entstanden, indem aus den Mengen von Eigenschaftsmengen, die in den bisher abgeleiteten Aussagen vorkommen, jeweils eine Eigenschaftsmenge ausgewählt und dann die Vereinigung dieser Mengen gebildet wurde. Die Definition einer Eigenschaft enthält neben der schon verwendeten Rückrichtung auch die Hinrichtung, das ist die Aussagen, dass die Eigenschaftsmengen, die sie disjunktiv impliziert, umgekehrt auch sie selbst implizieren. Aufgrund der Konstruktion der angegebenen Produktmenge P und Schlussregel (2) impliziert dann jede Eigenschaftsmenge darin auch M, das ist impliziert jede Eigenschaft aus M. Nun können wir das gleiche Vorgehen, das wir auf M angewandt haben, auf jede einzelne Eigenschaftsmenge M’ aus P anwenden, welches uns wiederum jeweils eine Menge von Eigenschaftsmengen gibt, die M’ disjunktiv impliziert und deren Elemente M’ implizieren. Auf die so erhaltenen Aussagen können wir nun Ableitungsregel (6) anwenden: Da M die Menge P disjunktiv impliziert und jedes Element aus P wiederum eine Menge von Eigenschaftsmengen disjunktiv impliziert, impliziert M auch die Menge P’ disjunktiv, die durch Vereinigung dieser Mengen entsteht. Wiederum gilt, dass jede Eigenschaftsmenge aus P’ auch M impliziert, wie sich aus der Konstruktion von P’ und den Ableitungsregeln (2) und (3) ergibt. Wir können dieses Verfahren der Bildung einer neuen Menge von Eigenschaftsmengen, die von M disjunktiv impliziert wird und deren Elemente jeweils M implizieren, mehrfach hintereinander ausführen; in jedem Schritt treten in der neuen Menge an die Stelle der Eigenschaften, die in den Elementen der alten Menge vorkommen, Eigenschaften, die weiter unten in der Definitionshierarchie stehen, abgesehen von den Eigenschaften, die schon in der alten Menge Basiseigenschaften waren. Das bedeutet, dass wir diesen Vorgang bloß hinreichend oft wiederholen müssen, und zwar aufgrund der geforderten Voraussetzungen nur endlich viele Male, bis in den Elementen der sich ergebenden Menge ausschließlich Basiseigenschaften vorkommen. Das heißt, wir können nur aus den Axiomen, die Definitionen sind, die Aussagen ableiten, dass M eine Menge N von Eigenschaftsmengen, welche nur Basiseigenschaften enthalten, disjunktiv impliziert, sowie dass jede dieser Eigenschaftsmengen M impliziert.

Nun können wir anhand der Basisaxiome (sowie gegebenenfalls Ableitungsregel (15)) für jede der in N vorkommenden Eigenschaftsmengen überprüfen, ob sie selbstwidersprüchlich ist, ein bestimmtes Objekt definiert oder ein unbestimmtes. Ist jede einzelne dieser Eigenschaftsmengen selbstwidersprüchlich, so folgt vermittelst des zweiten Teils von (12), dass M selbstwidersprüchlich ist, und wir sind fertig. Andernfalls entfernen wir zunächst vermittelst des ersten Teils von (12) alle selbstwidersprüchlichen Eigenschaftsmengen aus N. Bleibt nur genau eine nicht selbstwidersprüchliche Eigenschaftsmenge übrig, so ergibt sich anhand von (11), dass M ein bestimmtes Objekt definiert, wenn die übriggebliebene Eigenschaftsmenge ein bestimmtes Objekt definiert, und ein unbestimmtes, wenn diese ein unbestimmtes definiert. Bleiben hingegen mindestens zwei Eigenschaftsmengen übrig, so definiert M ein unbestimmtes Objekt. Denn entweder unter diesen befindet sich eine, die ein unbestimmtes Objekt definiert, und dann definiert M wegen (17) ein unbestimmtes Objekt. Oder aber alle definieren bestimmte Objekte; in diesem Falle wählen wir zwei solche Eigenschaftsmengen aus; da diese beide nicht selbstwidersprüchlich sind, beide M implizieren und ihre Vereinigung selbstwidersprüchlich ist, folgt mit (18) wiederum, dass M ein unbestimmtes Objekt definiert.

Sei nun eine Eigenschaft E vorgegeben. Falls M ein bestimmtes Objekt definiert, können wir bestimmen, ob M die Eigenschaft E impliziert, indem wir anhand des beschriebenen Verfahrens überprüfen, ob die Vereinigung aus M und E selbstwidersprüchlich ist; M impliziert E genau dann, wenn das nicht der Fall ist. Wenn M hingegen ein unbestimmtes Objekt definiert, ist ein etwas längeres Verfahren notwendig. Zunächst leiten wir auf dieselbe Weise, wie wir es für M getan hatten, eine Menge N’ von Eigenschaftsmengen her, die von der aus E bestehenden Menge disjunktiv impliziert wird und deren Elemente allesamt E implizieren. Wir nehmen an, dass anhand von (12) bereits alle selbstwidersprüchlichen Elemente aus N sowohl als auch N’ entfernt sind. Zunächst gilt, dass M die Eigenschaft E genau dann impliziert, wenn jedes Element aus N die Eigenschaft E impliziert. Denn wenn M die Eigenschaft E impliziert, dann impliziert wegen (6) auch jedes Element aus N die Eigenschaft E, da diese jeweils M implizieren; umgekehrt folgt ebenfalls wegen (6) aus der Tatsache, dass jedes Element aus N die Eigenschaft E impliziert, dass M die Eigenschaft E impliziert, da es N disjunktiv impliziert. Demnach reicht es, ein Verfahren zu haben, um für ein Element aus N zu entscheiden, ob es E impliziert. Betrachten wir also eine beliebige Eigenschaftsmenge M’, welche Element von N ist. Liegt ein Element aus N’ ganz in M’, so folgt mit (2), dass M’ die Eigenschaft E impliziert. Gilt das für keines der Elemente aus N’, so heißt das zwar, dass M’ keines der Elemente implizieren kann, weil unter Basiseigenschaften keine Implikation besteht; aber noch nicht, dass M’ auch nicht E impliziert, da M’ die Elemente aus N’ auch disjunktiv implizieren kann, in welchem Falle es wegen (6) auch E impliziert. Tatsächlich ist das auch notwendig; denn aus (6) ergibt sich, dass, wenn M’ die Eigenschaft E impliziert, es die Menge N’ disjunktiv impliziert, da E diese disjunktiv impliziert, welches kontraponiert besagt, dass M’ die Eigenschaft E nicht impliziert, wenn es N’ nicht disjunktiv impliziert. Wir hatten aber oben gefordert, dass sich aus den Basisaxiomen ergibt, ob eine beliebige Menge an Basiseigenschaften eine Menge von Mengen anderer Basiseigenschaften disjunktiv impliziert oder nicht. Darum haben wir nun ein Verfahren konstruiert, mit dem sich auch für unbestimmte Objekte entscheiden lässt, ob sie eine Eigenschaft E implizieren oder nicht.

Wenden wir uns nun der Verallgemeinerung des oben konstruierten Algorithmus auf Universen mit bedingten Definitionen zu.

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Wir haben in unserer Darstellung des logischen Schließens, wann immer wir ein konkretes Beispiel zur Veranschaulichung geben wollten, fast immer auf solche Universen zurückgegriffen, die sich der Domäne der Mathematik zuordnen lassen. Dies hat seine Bewandtnis nicht nur darin, dass diese zu den einfachsten nichttrivialen Universen gehören, sondern auch in der Tatsache, dass darin die Anschauung zwar keine kleine, aber im Vergleich zu den meisten anderen Universen eine deutlich geringere Rolle spielt; so muss beispielsweise in Universen, welche natürliche Sprachen enthalten, oder physische Gegenstände samt ihrem Verhalten, die Anschauung eine Vielzahl an scheinbar willkürlichen Definitionen und Basisaxiomen zur Verfügung stellen, wogegen sich deren Zahl in mathematischen Universen geradezu bescheiden ausnimmt (bei diesem Vergleich seien die unendlich vielen Axiome, in die sich ein einzelner Schemasatz formal auflösen lässt, als nur eines gezählt). Darum boten sich mathematische Universen bestens dazu an, um die Wirkungsweise des logischen Schlusses zu illustrieren. Auch wenn die Grundlagen eines mathematischen Universums einfach sind, so sind bereits die Aussagen einer endlichen Mathematik, das ist einer solchen, in der nur endliche mathematische Objekte wie beispielsweise konkrete Zahlen oder endliche Mengen vorkommen, zu welcher sich die gegebenen Beispiele zählen lassen, durchaus nichttrivial und interessant; dass etwa neunundzwanzig eine Primzahl ist und dreißig nicht, ist nicht selbstverständlich und konstituiert eine Struktur im Universum der natürlichen Zahlen. Jedoch werden die meisten Mathematiker wohl eine solche endliche Mathematik nicht als Mathematik im eigentlichen Sinne betrachten; man könnte sie vielmehr sogar als bloße Rechenkunst ansehen. Was eine Mathematik im eigentlichen Sinne hingegen ausmacht, ist das für sie zentrale Konzept der Unendlichkeit; das ist sie macht Aussagen über unendliche Mengen mathematischer Gegenstände. So ist es etwa ungleich gehaltvoller, auszusagen, dass jede durch drei teilbare Zahl auch durch sechs teilbar ist oder dass es unendlich viele Primzahlen gibt, als bloß feststellen zu können, dass zwölf durch sechs teilbar ist oder dass fünf und sieben Primzahlen sind. Nun finden wir unseren Eigenschaftskalkül für eine solche eigentliche, das heißt unendliche Mathematik, scheinbar schlecht gerüstet: Da wir die Forderung aufstellen, dass der Verstand jede Eigenschaft auf endlich viele andere Eigenschaften zurückzuführen vermag und auch in endlich vielen Schritten zu den Basiseigenschaften gelangt, ist es nicht möglich, derartige Sätze unmittelbar in einem Universum zu formalisieren und dann in ein Verhältnis zur Wahrheit zu setzen. Die Frage, ob es unendlich viele Primzahlen gebe, lässt sich dabei noch nicht einmal formalisieren; für den Satz, dass jede durch sechs teilbare Zahl auch durch drei teilbar ist, ist das zwar möglich, indem man fragt, ob die Eigenschaft, durch sechs teilbar zu sein, jene impliziere, durch drei teilbar zu sein, doch gehört dieser Satz in dem oben eingeführten Universum der natürlichen Zahlen zu denjenigen, die sich nicht in ein Verhältnis zur Wahrheit setzen lassen.

Jedoch lässt sich ein geeigneter Ersatz finden: Dazu müssen wir ein Universum konstruieren, welches das bisher betrachtete Universum der natürlichen Zahlen in elementarer Sichtweise erweitert, indem es nicht nur einzelne natürliche Zahlen als Objekte enthält, sondern auch Mengen von natürlichen Zahlen, welche unendlich sein können. Damit werden nun erstmals Mengen zu Objekten, das ist Gegenständen der Objektsprache, während sie bisher ausschließlich ein Konzept der Metasprache waren. Um diesen Objekten, die möglicherweise unendliche Mengen sind, Eigenschaften zu- oder absprechen zu können und für diese Definitionen aufzustellen, die eine Rückführung auf jeweils endlich viele andere Eigenschaften erlauben, kann man auf einen geeigneten Formalismus, etwa die Prädikantenlogik und geeignete Regeln, etwa die Zermelo-Fraenkel-Axiome, zurückgreifen, die es erlauben, auch Charakteristika unendlicher Mengen zu ergründen. Dass eine Menge ein bestimmtes Charakteristikum besitzt, etwa dass sie unendlich groß ist oder alle ihre Elemente eine bestimmte Beziehung erfüllen, lässt sich dann unter Umständen übersetzen in die Eigenschaft, dass dieses Charakteristikum im Rahmen des verwendeten Formalismus und der mengentheoretischen Axiome ableitbar ist. In einem Universum der natürlichen Zahlen, welches nur die Addition, nicht aber die Multiplikation besitzt (Presburgersche Arithmetik), und einem solchen, welches nur die Multiplikation und keine Addition kennt (Skolemsche Arithmetik), kann man für jeden formulierbaren Satz in endlich vielen Schritten überprüfen, ob er ableitbar ist, sodass dieses Charakteristikum in der Tat dazu geeignet ist, eine Eigenschaft zu konstituieren. Für die volle Arithmetik mit Addition und Multiplikation indes gilt das nicht mehr, und es gibt nach Gödel sogar Sätze, sodass weder sie selbst noch ihre Negation ableitbar sind. Hier kann man dann als gültige Eigenschaft noch aufstellen, dass ein bestimmtes Charakteristikum im Rahmen des verwendeten Formalismus in weniger als n Schritten (mit einer beliebigen Zahl n) ableitbar ist, sodass auch im Eigenschaftskalkül in endlich vielen Schritten überprüft werden kann, ob diese Eigenschaft einem Objekt zukomme oder nicht. Auf der Metaebene kann man die Tatsache, dass einem Objekt, welches eine Menge ist, die Eigenschaft zukommt, dass sich ein gewisses Charakteristikum der Menge in n Schritten im Rahmen des zum Universum gehörenden Formalismus ableiten lässt, so interpretieren, dass der Menge dieses Charakteristikum tatsächlich zukommt; zumindest, wenn man auf der Metaebenen annimmt, dass der Formalismus und das Axiomensystem, die der Konstruktion des Universums zugrunde liegen (welche nicht mit dem Eigenschaftskalkül selbst und den darin formulierten Axiomen verwechselt werden dürfen und vielmehr die Grundlage zu deren Bildung darstellen), konsistent sind in dem Sinne, dass ein Objekt nicht gleichzeitig die Eigenschaften besitzen kann, dass sich das Charakteristikum einer Menge sowohl als auch ihr Gegenteil in einer bestimmten Anzahl an Schritten ableiten lassen; in welchem Falle besagte Interpretation sehr fragwürdig wäre. Es sei bemerkt, dass eine solche Inkonsistenz keinesfalls als eine Inkonsistenz im Eigenschaftskalkül betrachtet werden darf; denn eine solche bestünde darin, dass sich in seinem Rahmen ableiten ließe, dass einer der Elementarsätze, das ist der Ausdruck einer Implikation einer Eigenschaft durch eine Eigenschaftsmenge, oder einer disjunktiven Implikation einer Menge von Eigenschaftsmengen durch eine Eigenschaftsmenge, oder dass eine Eigenschaftsmenge selbstwidersprüchlich ist, ein bestimmtes oder ein unbestimmtes Objekt definiert, sowohl wahr als auch falsch ist. Hingegen erscheint die Tatsache, dass ein Objekt in einem Universum besagte zwei Eigenschaften zugleich besitzt, nur in der Betrachtungsweise der Metaebene als Inkonsistenz. Es ist jedoch prinzipiell vorstellbar, dass auch ein in diesem Sinne inkonsistentes Universum gedacht werden kann. Offensichtlich können wir überdies die Tatsache, dass ein Objekt die Eigenschaft nicht besitzt, dass sich ein gewisses Charakteristikum in n Schritten ableiten lässt, nicht in dem Sinne interpretieren, dass es dieses nicht besitzt; doch ist dies kein Widerspruch dazu, dass das Denken die Verhältnisse der denkbaren Dinge grundsätzlich erkennen können muss, da dies, wie oben dargelegt, nur beinhaltet zu entscheiden, ob eine eigentliche Eigenschaft einem Objekt zukommt, als welche wir Charakteristika unendlicher Mengen keineswegs betrachten dürfen. Ähnliches gilt für andere mathematische Gebiete; so lässt sich etwa auch in der euklidischen Geometrie stets in endlich vielen Schritten entscheiden, ob sich ein Charakteristikum ableiten lässt, sodass wir hier dieses selbst mit seiner Ableitbarkeit identifizieren können; doch verhält es sich mit der Mehrzahl der Gebiete eher wie mit der vollen Arithmetik, und man muss zum selben Behelf wie dort greifen.

Da wir das Operieren in einem bestimmten mathematischen Kalkül gleichsam mit dem Eigenschaftskalkül umhüllen, das ist nur die bloße Ableitbarkeit mathematischer Aussagen in ein Verhältnis zur Wahrheit setzbar ansehen, mag unsere Position als der formalistischen in der Philosophie der Mathematik verwandt erscheinen. Dies ist jedoch nur zum Teil richtig. Denn die grundlegende Struktur eines Universums, das ist seine Eigenschaften und Relationen, sowie seine Axiome (auf der Ebene des Eigenschaftskalküls), welche entsprechend den mathematischen Axiomen eines bestimmten mathematischen Gebiets, welches das Universum enthält, gebildet sind, entspringen der Anschauung. Deshalb handelt es sich bei den in Rede stehenden Ableitungen nicht, wie manche extremen Schulen des Formalismus behaupten, um ein bloßes Spiel mit mathematischen Symbolen, das auf willkürlichen Regeln basiert; sondern sie geben eine dem Geistigen intrinsische Struktur wieder und zeugen womöglich gar von einer im Vergleich zum Wahrheitsbegriff des Eigenschaftskalküls tiefer liegenden Wahrheit, die sich allenfalls auf der Metaebene in Ansätzen erschließt. So kann der Verstand, ungeachtet seiner Endlichkeit, vermittelst der Anschauung sich einen Begriff von dem so rätselhaften Konzept des Unendlichen machen. Allerdings bleibt diesem Begriff immer eine gewisse Vagheit eigen, und welche Gesetze genau im eigentümlichen Reich der unendlichen Mengen gelten, kann die Anschauung nicht vollständig entscheiden; etwa, ob das Auswahlaxiom gültig ist oder nicht; was zur Folge hat, dass es jeweils ein Universum geben muss, in dem es gilt, und eines, in dem es nicht gilt.

Wir sind nun am Ende dieser Schrift angelangt, in welcher wir einen sehr weiten Bogen gespannt haben. Begonnen haben wir mit einer Phänomenologie des Denkens, wie es sich in der Wirklichkeit manifestiert, ohne doch je dessen eigentümliche Doppelrolle als eine Erscheinung des Wirklichen und als Subjekt aller Erkenntnis aus den Augen zu verlieren. Die bemerkenswerte Konsistenz, mit der dieses Denken Aussagen über die von ihm gedachten Dinge macht, sowie die Vielfältigkeit seiner Begriffe, deren Sammlung sich jederzeit erweitern kann, haben uns auf die Vorstellung geführt, dass das Denken des in der Wirklichkeit vorhandenen Verstandes sich als mängelbehaftete Version eines hypothetischen idealen Verstandes betrachten lässt. Schließlich haben wir aus der Tatsache, dass die vom Denken abgebildeten Dinge sich häufig als überaus strukturreich darstellen, einerseits, und unserer Überzeugung, dass das Denken absolute Wahrheiten über die Dinge auffinden kann, andererseits, welche von der Vorstellung, es handle sich bei den Mängeln des tatsächlichen Denkens schlicht um Abweichungen von einer Norm des idealen Denkens, gestützt wird, die Schlussfolgerung gezogen, welche die zentrale Aussage dieser Schrift darstellt: dass es außer dem sich unmittelbar aufdrängenden Sein des Wirklichen noch ein weiteres Sein gibt, schwächer zwar und subtiler, dafür aber von platonischer Natur, das ist zeitlos und losgelöst von jeder Wirklichkeit, gleichsam absolut existent; welches wir als geistiges Sein bezeichnen. Im zweiten Teil dann haben wir die Struktur des geistig Seienden untersucht. Nachdem wir die grundlegenden Begriffe des Objekts und der Eigenschaft geklärt hatten, stellten wir ontologisch-mengentheoretische Überlegungen zur Ordnung des Geistigen an, welche uns auf die Begriffe der Klasse, des Universums und der Domäne führten. Daraufhin stand wieder das Denken selbst mehr im Vordergrund, indem wir untersuchten, wie Eigenschaften im Denken erscheinen und in welcher Form das Denken das geistig Seiende erkennt. Im letzten Teil dann haben wir das logische Schließen durch den Verstand formalisiert.

Wie bei jedem philosophischen Unterfangen sind wir dabei auf vielfältige Schwierigkeiten gestoßen und konnten nicht alle Verhältnisse bis ins Letzte ergründen; zuvörderst muss hier die eigentümliche Beziehung zwischen Denken und geistigem Sein genannt werden, deren Verwicklungen vollständig auflösen zu wollen ein ohnehin zum Scheitern verurteiltes Unterfangen ist. Wir sind Bewohner der Wirklichkeit, ja müssen es sein: Wenn man das berücksichtigt, dann erscheint es vielmehr als bemerkenswert, wie weit wir in der Erkenntnis des Geistigen gelangen konnten, dank des Geschenks, welches das Vorhandensein von Denken in der Wirklichkeit darstellt.

Die wohl größte Kritik, die sich an den dargelegten Ansichten zum geistigen Sein äußern lässt, ist dass das Konzept des idealen Verstandes, als einer gänzlich hypothetischen Entität, notwendigerweise vage bleibt; denn da wir das geistige Sein und alle Charakteristika des geistig Seienden auf das Denken eben dieses idealen Verstandes zurückführen, scheinen auch diese in ihrer Existenz und ihren Charakteristika vage zu bleiben. Auch wird selbst einer, der einer platonistischen Position, etwa im Rahmen der Philosophie der Mathematik, grundsätzlich aufgeschlossen gegenübersteht, das ist es prinzipiell für möglich hält, dass es ein Sein unabhängig von der Wirklichkeit gibt, womöglich Zweifel daran haben, dass nicht nur mathematische Objekte, sondern schlichtweg alles, was denkbar ist, eine solche Existenz beanspruchen kann; woran er einerseits die schon erwähnte Vagheit eines solchen Begriffs wird kritisieren können und andererseits, dass so auch Dinge als unabhängig von aller Wirklichkeit seiend sich ergeben, die allzu sehr von einer konkreten Wirklichkeit inspiriert scheinen. Darauf wissen wir nur zu antworten: dass zwar der vage bleibende Charakter des idealen Denkens eine Schwierigkeit ist, die wir anerkennen; dass wir aber auf unsere Vorstellung vom geistigen Sein, und seine notwendige Rückbeziehung auf ein solches ideales Denken, wie ausführlich dargelegt, durch die konsequente Verfolgung eines Gedankengangs, in dem sich jeder Schritt anschaulich ergab, gelangt sind. Allein den mathematischen Gegenständen platonisches Sein zuzusprechen wäre letztlich inkonsequent, da sie sich zwar in mehreren bedeutenden Aspekten, aber nicht fundamental von allen anderen denkbaren Dingen unterscheiden. Darauf, dass so die meisten unabhängig von der Wirklichkeit seienden Objekte allzu sehr von dieser inspiriert wirken, lässt sich antworten: dass es sich damit, was von Denkbarem und Wirklichem ursprünglich und was abgeleitet ist, ja auch genau umgekehrt verhalten kann. Wie in Über die Wirklichwerdung des geistig Seienden ausführlich begründet wird, muss schließlich alles Wirkliche denkbar sein; dass was schon der tatsächliche Verstand zu denken vermag sich oftmals als bemerkenswert heterogen zur tatsächlichen Wirklichkeit darstellt, ist ein starkes Indiz dafür, dass in der Tat das Denkbare das Ursprüngliche ist. Schließlich kann noch der Vorwurf, dass der Begriff des idealen Denkens vage bleibt, dadurch abgeschwächt werden, dass wir mit dem tatsächlichen Denken durchaus einen guten Anhaltspunkt für dessen Natur haben, da wir das ideale Denken, wie dargelegt, in einer Extrapolation vom tatsächlichen Denken aus konstruieren. Dieses tatsächliche Denken mag zwar durchaus eine Uneindeutigkeit in der Anschauung bezüglich vieler Verhältnisse der Dinge charakterisieren; jedoch ist das dann wohl ein Hinweis darauf, dass auch das ideale Denken diese nicht eindeutig entscheidet, was sich darin manifestiert, dass es sich in einem Universum in der einen und in einem anderen in der anderen Weise verhält. Einzig dass das ideale Denken einen unbeschränkten Begriffskreis besitzt, bleibt schwer fasslich, zumal es als Konsequenz hat, dass es womöglich geistig Seiendes gibt, von dem wir uns noch nicht einmal die entfernteste Vorstellung machen können. Doch gehört es nunmal schlicht zu den unergründlichen Fragen, was geistig ist außer dem, was wir davon erkennen können, genauso wie wenn man etwa nach der echten Vergangenheit und Zukunft fragt; wobei dieses Erkennen in der hier entwickelten Betrachtungsart durch den tatsächlichen Verstand, der Teil der Wirklichkeit ist, geschieht; während es in der strengen metaphysischen Sichtweise die gesamte Wirklichkeit ist, die als Entsprechung von geistig Seiendem Erkenntnis darüber bietet.

Für einen Wirklichkeitsbewohner ist die Vorstellung, dass völlig unabhängig von seiner Existenz schlichtweg alles, was gedacht werden kann, ist, wenn es sich auch um ein schwächeres Sein als das der Wirklichkeit handelt, keine selbstverständliche. Hat er sie aber verinnerlicht, so wird sie ihn womöglich gar mit Ehrfurcht erfüllen, und das in zweierlei Hinsicht: Einerseits ob der Unermesslichkeit der denkbaren und damit geistigen Welten; andererseits aber ob der Tatsache, dass aus dieser unendlichen Fülle an möglichen Wirklichkeiten, welche dieses Geistige darstellt, gerade die eine, in der er sich vorfindet, dazu erkoren ist, die tatsächliche zu sein; was sich nicht anders als absurd nennen lässt. Die Reichhaltigkeit der Strukturen der geistigen Welten aber, welche sich mit einer Natürlichkeit im Denken einstellen, die auf deren Existenz unabhängig von diesen selbst hinweist, versetzt ihn immer wieder von Neuem in Erstaunen und Verwunderung, wenn er sie vermittelst des Verstandes erkundet. Angesichts der Armseligkeit und Vergänglichkeit der Existenz eines Wirklichkeitsbewohners kann man schließlich dem Gedanken, dass völlig unabhängig von dieser ein zeitloses Sein aus schlechthinniger Notwendigkeit besteht, eine gewisse Tröstlichkeit nicht ganz absprechen. Die Vorstellung vom geistigen Sein und vom geistig Seienden, welche als außerordentlich, ehrfurchterregend, staunenswert und tröstlich zugleich sich darstellt: Sie ist, mit einem Worte, eine großartige Vorstellung.